İnteqral kalkulyator
Riyazi analizdə inteqraldan geniş istifadə olunur - sahələrin, həcmlərin, kütlələrin, məsafələrin və digər qeyri-sabit (dəyişən) kəmiyyətlərin hesablanması üçün tətbiq olunan cəminin davamlı analoqu.
Məsələn, hərəkət zamanı dəfələrlə dəyişə bilən avtomobilin sürəti və ya yerinə yetirilən hesablama proseslərinə uyğunlaşan prosessorun tezliyi. Bu kəmiyyətləri sabit dəyər kimi təsvir etmək qeyri-mümkündür, çünki onlar daim minimumdan maksimuma qədər dəyişir, lakin bu, inteqraldan istifadə etməklə asanlıqla həyata keçirilə bilər.
Ölçülən kəmiyyətin sabit hədləri olub-olmamasından asılı olaraq, müəyyən və qeyri-müəyyən inteqral fərqləndirilir. Birincidə bunlar var, ikincisində isə yoxdur. İnteqrasiyanın mahiyyəti dəyişməz olaraq qalır.
Sadə dillə desək, bu, bir neçə terminin sonrakı cəmlənməsi ilə vurulması əməliyyatlarının məcmusudur və ya sonsuz kiçik həddlərlə yerinə yetirilən sonsuz sayda vurmanın cəmidir. Bu gün inteqrasiya aşağıdakılar üçün geniş istifadə olunur:
- Mürəkkəb həndəsi fiqurların S = a × b və ya S = π × r² kimi xüsusi düsturun əldə edilməsinin qeyri-mümkün olduğu sahələrin tapılması.
- Qeyri-bərabər sıxlığı olan cisimlərin kütlələrinin hesablanması.
- Müxtəlif sürətlərdə qət edilən məsafələrin müəyyən edilməsi.
Riyaziyyatda (və digər elmlərdə) inteqral latın S (summa) sözündən alınan uzunsov ∫ hərfi ilə işarələnir. Əslində, inteqral çoxlu çoxalmış şərtlərin cəmidir. Bundan əlavə, ideal inteqrasiya (səhvsiz) həm sonlu, həm də sonsuz kəmiyyətlərə münasibətdə həyata keçirilə bilər.
İnteqral hesablamanın tarixi
“İnteqral” anlayışının özü hələ mövcud olmasa da, onun prinsipi Qədim Yunanıstanda istifadə olunmağa başladı. Beləliklə, Arximed dairələrin sahəsini tapmaq üçün müasir inteqrasiyaya mümkün qədər yaxın olan bir üsuldan, yəni tükənmə metodundan istifadə etmişdir.
Bu, digər fiqurların ardıcıllığını nizamlı bir dairəyə yerləşdirməkdən və sonra onların sahələrinin həddini təyin etməkdən ibarət idi. Bu hesablamalara birbaşa bənzətmə inteqrasiyadan istifadə edərək sonsuz məbləğin həddini tapmaqdır.
Əvvəlcə üsul yalnız həndəsədə istifadə olunsa da, sonradan mexanika, iqtisadiyyat, astronomiya və digər elmlərdə tətbiq tapıldı. Onun müasir adı olan "inteqrasiya" yalnız 17-ci əsrdə yaranmışdır: Avropa alimləri İsaak Nyuton və Qotfrid Vilhelm Leybnisin tədqiqatları zamanı. İnteqral diferensial hesablama sistemlərində istifadə olunmağa başladı və o, aydın riyazi tərif aldı - “funksiyanın antitörəməsi”.
Sadə dillə desək, həndəsədə inteqral əyri xətti fiqurun sahəsidir. Qeyri-müəyyən inteqral bütün sahədir, müəyyən inteqral isə verilmiş sahədəki sahədir. Müvafiq olaraq, törəmənin tapılması prosesi diferensiallaşma, əks törəmənin tapılması isə inteqrasiya adlanır.
Funksiyaların inteqrasiyası qaydaları
İnteqrallarla işləyərkən C sabitindən istifadə etmək şərti ilə transformasiya düsturlarından istifadə edə bilərsiniz. İnteqralın konkret (ixtiyari götürülən) nöqtədə qiymətinin məlum olub-olmaması müəyyən edilir.
Hər bir funksiyanın sonsuz sayda əks törəmələri olduğundan, C dəyərini bilərək, siz inteqral düsturları aşağıdakı üsullarla çevirə bilərsiniz:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Loqarifmik və eksponensial funksiyaların inteqralları da çevrilə bilər:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
Triqonometriyada inteqralların çevrilməsi üçün ən azı 15 düstur istifadə olunur, onlardan ən sadələri:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
Oxşar düsturlar sekantlar, kosekantlar, arktangentlər və s. üçün mövcuddur. Yalnız kompüter, daha doğrusu inteqrasiya funksiyasına malik xüsusi proqram onları tez hesablaya bilər (dəyişənləri əvəz etdikdən sonra).
Müəyyən və ya qeyri-müəyyən inteqralı və ya funksiyanın antiderivativini tez hesablamaq üçün kalkulyatorumuzdan istifadə edin. Bunun üçün ədədi dəyərləri əvəz etmək və hesablama parametrlərini seçmək kifayətdir. Nəticə bir neçə saniyə ərzində ekranda görünəcək ki, bu da sizi uzun və mürəkkəb hesablamalar aparmaq ehtiyacından xilas edəcək.