Ολοκληρωμένη αριθμομηχανή
![Ολοκληρωμένη αριθμομηχανή](/media/images/integral_calculator.webp)
Στη μαθηματική ανάλυση, το ολοκλήρωμα χρησιμοποιείται ευρέως - ένα συνεχές ανάλογο ενός αθροίσματος, που ισχύει για τον υπολογισμό εμβαδών, όγκων, μαζών, αποστάσεων και άλλων μη σταθερών (μεταβλητών) μεγεθών.
Για παράδειγμα, η ταχύτητα ενός οχήματος, η οποία μπορεί να αλλάξει πολλές φορές ενώ κινείται, ή η συχνότητα ενός επεξεργαστή, ο οποίος προσαρμόζεται στις υπολογιστικές διαδικασίες που εκτελούνται. Είναι αδύνατο να περιγραφούν αυτές οι ποσότητες ως σταθερή τιμή, καθώς αλλάζουν συνεχώς στην περιοχή από το ελάχιστο στο μέγιστο, αλλά αυτό μπορεί να γίνει εύκολα χρησιμοποιώντας ένα ολοκλήρωμα.
Ανάλογα με το αν η μετρούμενη ποσότητα έχει σταθερά όρια, διακρίνονται ένα ορισμένο και αόριστο ολοκλήρωμα. Το πρώτο τα έχει, αλλά το δεύτερο όχι. Η ουσία της ολοκλήρωσης παραμένει η ίδια.
Με απλά λόγια, αυτό είναι ένα σύνολο πράξεων πολλαπλασιασμού πολλών όρων με το επόμενο άθροισμά τους ή το άθροισμα ενός άπειρου αριθμού πολλαπλασιασμών που εκτελούνται με απειροελάχιστους όρους. Σήμερα η ενοποίηση χρησιμοποιείται ευρέως για:
- Εύρεση των περιοχών σύνθετων γεωμετρικών σχημάτων για τα οποία είναι αδύνατο να εξαχθεί ένας συγκεκριμένος τύπος όπως S = a × b ή S = π × r².
- Υπολογισμός των μαζών των σωμάτων με ανομοιόμορφη πυκνότητα.
- Προσδιορισμός των αποστάσεων που διανύθηκαν με ποικίλες ταχύτητες.
Στα μαθηματικά (και άλλες επιστήμες), ένα ολοκλήρωμα συμβολίζεται με ένα επίμηκες γράμμα ∫, που προέρχεται από το λατινικό S (summa). Στην ουσία, ένα ολοκλήρωμα είναι το άθροισμα πολλών πολλαπλασιασμένων όρων. Επιπλέον, η ιδανική ολοκλήρωση (χωρίς σφάλματα) μπορεί να πραγματοποιηθεί σε σχέση τόσο με πεπερασμένα όσο και με άπειρα μεγέθη.
Ιστορία του ολοκληρωτικού λογισμού
Αν και η ίδια η έννοια του «ολοκληρώματος» δεν υπήρχε ακόμη, η αρχή του άρχισε να χρησιμοποιείται στην Αρχαία Ελλάδα. Έτσι, ο Αρχιμήδης χρησιμοποίησε για να βρει την περιοχή των κύκλων μια μέθοδο που ήταν όσο το δυνατόν πιο κοντά στη σύγχρονη ολοκλήρωση, δηλαδή τη μέθοδο εξάντλησης.
Αποτελούνταν στην τοποθέτηση μιας ακολουθίας άλλων σχημάτων σε έναν κανονικό κύκλο, ακολουθούμενη από τον καθορισμό του ορίου των περιοχών τους. Μια άμεση αναλογία με αυτούς τους υπολογισμούς είναι η εύρεση του ορίου ενός άπειρου αθροίσματος χρησιμοποιώντας την ολοκλήρωση.
Αρχικά, η μέθοδος χρησιμοποιήθηκε μόνο στη γεωμετρία, αλλά στη συνέχεια βρήκε εφαρμογή στη μηχανική, την οικονομία, την αστρονομία και άλλες επιστήμες. Και το σύγχρονο όνομά του, «ολοκλήρωση», προέκυψε μόλις τον 17ο αιώνα: κατά τη διάρκεια της έρευνας των Ευρωπαίων επιστημόνων Isaac Newton και Gottfried Wilhelm Leibniz. Το ολοκλήρωμα άρχισε να χρησιμοποιείται σε συστήματα διαφορικού λογισμού και έλαβε έναν σαφή μαθηματικό ορισμό - «αντιπαράγωγο μιας συνάρτησης».
Με απλά λόγια, ένα ολοκλήρωμα στη γεωμετρία είναι το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου σχήματος. Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι ολόκληρη η περιοχή και το οριστικό ολοκλήρωμα είναι το εμβαδόν σε μια δεδομένη περιοχή. Συνεπώς, η διαδικασία εύρεσης του παραγώγου ονομάζεται διαφοροποίηση και η εύρεση του αντιπαραγώγου ονομάζεται ολοκλήρωση.
Κανόνες για την ενοποίηση συναρτήσεων
Όταν εργάζεστε με ολοκληρώματα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τύπους μετασχηματισμού, υπό την προϋπόθεση ότι χρησιμοποιούν τη σταθερά C. Καθορίζεται εάν η τιμή του ολοκληρώματος σε ένα συγκεκριμένο (αυθαίρετα) σημείο είναι γνωστή.
Δεδομένου ότι κάθε συνάρτηση έχει έναν άπειρο αριθμό αντιπαραγώγων, γνωρίζοντας την τιμή του C, μπορείτε να μετασχηματίσετε ολοκληρωμένους τύπους με τους εξής τρόπους:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Ολοκληρώματα λογαριθμικών και εκθετικών συναρτήσεων μπορούν επίσης να μετασχηματιστούν:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + Γ.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
Στην τριγωνομετρία, χρησιμοποιούνται τουλάχιστον 15 τύποι μετασχηματισμού ολοκληρωμάτων, οι απλούστεροι από τους οποίους είναι:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + Γ.
Παρόμοιοι τύποι υπάρχουν για τα secants, cosecanants, arctantgents και ούτω καθεξής. Μόνο ένας υπολογιστής, ή μάλλον μια ειδική εφαρμογή με συνάρτηση ολοκλήρωσης, μπορεί να τα υπολογίσει γρήγορα (μετά την αντικατάσταση μεταβλητών).
Για να υπολογίσετε γρήγορα ένα ορισμένο ή αόριστο ολοκλήρωμα ή ένα αντιπαράγωγο μιας συνάρτησης, χρησιμοποιήστε την αριθμομηχανή μας. Αρκεί να αντικαταστήσετε αριθμητικές τιμές σε αυτό και να επιλέξετε παραμέτρους υπολογισμού. Το αποτέλεσμα θα εμφανιστεί στην οθόνη σε κλάσμα του δευτερολέπτου, το οποίο θα σας εξοικονομήσει από την ανάγκη να πραγματοποιήσετε μεγάλους και πολύπλοκους υπολογισμούς.