آلة حاسبة متكاملة
في التحليل الرياضي، يتم استخدام التكامل على نطاق واسع - وهو نظير مستمر للمجموع، ينطبق على حساب المساحات والأحجام والكتل والمسافات وغيرها من الكميات غير الثابتة (القابلة للتغيير).
على سبيل المثال، سرعة السيارة، والتي يمكن أن تتغير عدة مرات أثناء التحرك، أو تردد المعالج، الذي يتكيف مع العمليات الحسابية التي يتم تنفيذها. ومن المستحيل وصف هذه الكميات كقيمة ثابتة، لأنها تتغير باستمرار في النطاق من الحد الأدنى إلى الحد الأقصى، ولكن يمكن القيام بذلك بسهولة باستخدام التكامل.
اعتمادًا على ما إذا كانت الكمية المقاسة لها حدود ثابتة، يتم التمييز بين التكامل المحدد وغير المحدد. الأول لديه لهم، ولكن الثاني لا. ويظل جوهر التكامل كما هو.
بعبارات بسيطة، هذه مجموعة من عمليات ضرب عدة حدود مع جمعها اللاحق، أو مجموع عدد لا حصر له من الضرب الذي يتم إجراؤه بحدود متناهية الصغر. يُستخدم التكامل اليوم على نطاق واسع من أجل:
- إيجاد مساحات الأشكال الهندسية المعقدة التي يستحيل اشتقاق صيغة محددة لها مثل S = a × b أو S = π × r².
- حساب كتل الأجسام ذات الكثافة غير المنتظمة.
- تحديد المسافات المقطوعة بسرعات متفاوتة.
في الرياضيات (والعلوم الأخرى)، يُشار إلى التكامل بحرف ممدود ∫، مشتق من الحرف اللاتيني S (الخلاصة). في الأساس، التكامل هو مجموع العديد من الحدود المضروبة. علاوة على ذلك، يمكن إجراء التكامل المثالي (بدون أخطاء) فيما يتعلق بالكميات المحدودة واللانهائية.
تاريخ حساب التكامل
على الرغم من أن مفهوم "التكامل" لم يكن موجودًا بعد، إلا أن مبدأه بدأ استخدامه في اليونان القديمة. وهكذا استخدم أرخميدس لإيجاد مساحة الدوائر طريقة كانت أقرب ما تكون إلى التكامل الحديث، وهي طريقة الاستنفاد.
تمثلت في تركيب سلسلة من الأشكال الأخرى في دائرة منتظمة، يليها تحديد حدود مساحاتها. والقياس المباشر لهذه الحسابات هو إيجاد نهاية مجموع لا نهائي باستخدام التكامل.
في البداية، تم استخدام الطريقة فقط في الهندسة، ولكن بعد ذلك تم تطبيقها في الميكانيكا والاقتصاد وعلم الفلك والعلوم الأخرى. واسمها الحديث "التكامل" نشأ فقط في القرن السابع عشر: أثناء بحث العلماء الأوروبيين إسحاق نيوتن وجوتفريد فيلهلم لايبنتز. بدأ استخدام التكامل في أنظمة حساب التفاضل والتكامل، وحصل على تعريف رياضي واضح - "المشتق العكسي للدالة".
بعبارات بسيطة، التكامل في الهندسة هو مساحة الشكل المنحني. التكامل غير المحدد هو المساحة بأكملها، والتكامل المحدد هو المساحة الموجودة في منطقة معينة. وعليه فإن عملية إيجاد المشتقة تسمى التمايز، وإيجاد المشتقة العكسية يسمى التكامل.
قواعد دمج الوظائف
عند التعامل مع التكاملات، يمكنك استخدام صيغ التحويل، بشرط أن تستخدم الثابت C. ويتم تحديد ما إذا كانت قيمة التكامل عند نقطة محددة (مأخوذة بشكل تعسفي) معروفة.
نظرًا لأن كل دالة تحتوي على عدد لا نهائي من المشتقات العكسية، فبمعرفة قيمة C، يمكنك تحويل الصيغ التكاملية بالطرق التالية:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
يمكن أيضًا تحويل تكاملات الدوال اللوغاريتمية والأسية:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + ج.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
في علم المثلثات، يتم استخدام ما لا يقل عن 15 صيغة لتحويل التكاملات، وأبسطها هي:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + ج.
توجد صيغ مشابهة للقاطع، وقاطع التمام، وظل القطب الشمالي، وما إلى ذلك. فقط جهاز الكمبيوتر، أو بالأحرى تطبيق خاص مع وظيفة التكامل، يمكنه حسابها بسرعة (بعد استبدال المتغيرات).
لحساب التكامل المحدد أو غير المحدد بسرعة، أو المشتقة العكسية للدالة، استخدم الآلة الحاسبة الخاصة بنا. يكفي استبدال القيم العددية فيه واختيار معلمات الحساب. سيتم عرض النتيجة على الشاشة خلال جزء من الثانية، مما سيوفر عليك إجراء حسابات طويلة ومعقدة.
