Калкулатор на интеграли
В математическия анализ широко се използва интегралът - непрекъснат аналог на сума, приложим за изчисляване на площи, обеми, маси, разстояния и други непостоянни (променливи) величини.
Например скоростта на превозно средство, която може да се променя многократно по време на движение, или честотата на процесор, който се адаптира към извършваните изчислителни процеси. Невъзможно е да се опишат тези количества като фиксирана стойност, тъй като те постоянно се променят в диапазона от минимум до максимум, но това може лесно да се направи с помощта на интеграл.
В зависимост от това дали измерваната величина има фиксирани граници, се различават определен и неопределен интеграл. Първият ги има, но вторият не. Същността на интеграцията остава същата.
Най-просто казано, това е набор от операции на умножение на няколко члена с последващо сумиране или сбор от безкраен брой умножения, извършени с безкрайно малки членове. Днес интеграцията се използва широко за:
- Намиране на площите на сложни геометрични фигури, за които е невъзможно да се изведе конкретна формула като S = a × b или S = π × r².
- Изчисляване на масите на тела с неравномерна плътност.
- Определяне на разстояния, изминати при различни скорости.
В математиката (и други науки) интегралът се означава с удължена буква ∫, произлизаща от латинското S (summa). По същество интегралът е сумата от много умножени членове. Освен това, идеалното интегриране (без грешки) може да се извърши по отношение както на крайни, така и на безкрайни количества.
История на интегралното смятане
Въпреки че самото понятие „интеграл“ все още не е съществувало, неговият принцип започва да се използва още в Древна Гърция. По този начин Архимед използва, за да намери площта на кръговете, метод, който е възможно най-близо до съвременната интеграция, а именно методът на изчерпване.
Състоеше се в поставяне на поредица от други фигури в правилен кръг, последвано от определяне на границата на техните площи. Пряка аналогия с тези изчисления е намирането на границата на безкрайна сума чрез интегриране.
Първоначално методът се използва само в геометрията, но след това намира приложение в механиката, икономиката, астрономията и други науки. А съвременното му име „интеграция“ възниква едва през 17 век: по време на изследванията на европейските учени Исак Нютон и Готфрид Вилхелм Лайбниц. Интегралът започва да се използва в системите за диференциално смятане и получава ясна математическа дефиниция - „антипроизводна на функция“.
С прости думи, интегралът в геометрията е площта на криволинейна фигура. Неопределеният интеграл е цялата площ, а определеният интеграл е площта в дадена област. Съответно процесът на намиране на производната се нарича диференциране, а намирането на антипроизводната се нарича интегриране.
Правила за интегриране на функции
Когато работите с интеграли, можете да използвате формули за трансформация, при условие че те използват константата C. Определя се дали стойността на интеграла в конкретна (произволно взета) точка е известна.
Тъй като всяка функция има безкраен брой антипроизводни, знаейки стойността на C, можете да трансформирате интегрални формули по следните начини:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Интегралите на логаритмични и експоненциални функции също могат да бъдат трансформирани:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
В тригонометрията се използват поне 15 формули за трансформиране на интеграли, най-простите от които са:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
Съществуват подобни формули за секанси, косеканси, арктангенси и т.н. Само компютър или по-скоро специално приложение с функция за интегриране може да ги изчисли бързо (след заместване на променливи).
За да изчислите бързо определен или неопределен интеграл или първоизводна на функция, използвайте нашия калкулатор. Достатъчно е да замените числови стойности в него и да изберете параметри за изчисление. Резултатът ще се покаже на екрана за част от секундата, което ще ви спести от необходимостта да извършвате дълги и сложни изчисления.