😍 ইন্টিগ্র‍্যাল ক্যালকুলেটর

গাণিতিক বিশ্লেষণে, পূর্ণাঙ্গটি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় - একটি যোগফলের একটি অবিচ্ছিন্ন অ্যানালগ, যা এলাকা, আয়তন, ভর, দূরত্ব এবং অন্যান্য অ-স্থির (পরিবর্তনযোগ্য) পরিমাণ গণনার জন্য প্রযোজ্য।

উদাহরণস্বরূপ, একটি গাড়ির গতি, যা চলার সময় অনেকবার পরিবর্তিত হতে পারে, বা একটি প্রসেসরের ফ্রিকোয়েন্সি, যা সম্পাদিত গণনামূলক প্রক্রিয়াগুলির সাথে খাপ খায়। এই পরিমাণগুলিকে একটি নির্দিষ্ট মান হিসাবে বর্ণনা করা অসম্ভব, যেহেতু তারা ক্রমাগত সর্বনিম্ন থেকে সর্বোচ্চ পর্যন্ত পরিসরে পরিবর্তিত হয়, তবে এটি একটি অখণ্ড ব্যবহার করে সহজেই করা যেতে পারে।

মাপা পরিমাণের নির্দিষ্ট সীমা আছে কিনা তার উপর নির্ভর করে, একটি নির্দিষ্ট এবং অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য আলাদা করা হয়। প্রথমটিতে সেগুলি আছে, কিন্তু দ্বিতীয়টির নেই৷ একীকরণের সারমর্ম একই থাকে।

সাধারণ ভাষায়, এটি পরবর্তী যোগফলের সাথে বিভিন্ন পদের গুণের ক্রিয়াকলাপের একটি সেট, অথবা অসীম পদের সাথে সম্পাদিত অসীম সংখ্যক গুণের যোগফল। আজ ইন্টিগ্রেশন এর জন্য ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়:

জটিল জ্যামিতিক চিত্রগুলির ক্ষেত্রগুলি খুঁজে বের করা যার জন্য S = a × b বা S = π × r² এর মতো একটি নির্দিষ্ট সূত্র বের করা অসম্ভব৷
অসম ঘনত্ব সহ দেহের ভরের গণনা।
বিভিন্ন গতিতে ভ্রমণ করা দূরত্ব নির্ণয়।

গণিতে (এবং অন্যান্য বিজ্ঞানে), একটি অখণ্ডকে একটি প্রসারিত অক্ষর ∫ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যা ল্যাটিন S (সুমা) থেকে প্রাপ্ত। সারমর্মে, একটি অখণ্ড হল বহু গুণিত পদের সমষ্টি। অধিকন্তু, আদর্শ একীকরণ (ত্রুটি ছাড়াই) সসীম এবং অসীম উভয় পরিমাণের সাথে সম্পর্কযুক্ত করা যেতে পারে।

অখণ্ড ক্যালকুলাসের ইতিহাস

যদিও "অখণ্ড" ধারণাটি এখনও বিদ্যমান ছিল না, তবে এর নীতিটি প্রাচীন গ্রীসে আবার ব্যবহার করা শুরু হয়েছিল। এইভাবে, আর্কিমিডিস চেনাশোনাগুলির ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করতেন এমন একটি পদ্ধতি যা আধুনিক একীকরণের যতটা সম্ভব কাছাকাছি ছিল, যথা ক্লান্তি পদ্ধতি।

এটি একটি নিয়মিত বৃত্তে অন্যান্য পরিসংখ্যানের একটি ক্রম ফিট করে, তারপরে তাদের ক্ষেত্রগুলির সীমা নির্ধারণ করে। এই গণনার একটি সরাসরি সাদৃশ্য হল ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করে অসীম যোগফলের সীমা খুঁজে বের করা।

প্রাথমিকভাবে, পদ্ধতিটি শুধুমাত্র জ্যামিতিতে ব্যবহার করা হয়েছিল, কিন্তু পরে বলবিদ্যা, অর্থনীতি, জ্যোতির্বিদ্যা এবং অন্যান্য বিজ্ঞানে এর প্রয়োগ পাওয়া গেছে। এবং এর আধুনিক নাম, "একীকরণ", শুধুমাত্র 17 শতকে উদ্ভূত হয়েছিল: ইউরোপীয় বিজ্ঞানী আইজ্যাক নিউটন এবং গটফ্রাইড উইলহেম লাইবনিজের গবেষণার সময়। ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস সিস্টেমে ইন্টিগ্রাল ব্যবহার করা শুরু হয়েছিল এবং এটি একটি পরিষ্কার গাণিতিক সংজ্ঞা পেয়েছে - "একটি ফাংশনের অ্যান্টিডেরিভেটিভ।"

সাধারণ ভাষায়, জ্যামিতিতে একটি অবিচ্ছেদ্য হল একটি বক্ররেখার ক্ষেত্রফল। অনির্দিষ্ট অখণ্ড হল সমগ্র এলাকা, এবং নির্দিষ্ট অখণ্ড হল একটি নির্দিষ্ট এলাকার ক্ষেত্র। তদনুসারে, ডেরিভেটিভ খোঁজার প্রক্রিয়াকে ডিফারেন্সিয়েশন বলা হয়, এবং অ্যান্টিডেরিভেটিভ খুঁজে পাওয়াকে বলা হয় ইন্টিগ্রেশন।

ফাংশন সংহত করার নিয়ম

অখণ্ডের সাথে কাজ করার সময়, আপনি রূপান্তর সূত্রগুলি ব্যবহার করতে পারেন, তবে শর্ত থাকে যে তারা ধ্রুবক C ব্যবহার করে। এটি নির্ধারিত হয় যদি একটি নির্দিষ্ট (যথেচ্ছভাবে নেওয়া) বিন্দুতে অখণ্ডের মান জানা থাকে।

যেহেতু প্রতিটি ফাংশনে অসীম সংখ্যক অ্যান্টিডেরিভেটিভ রয়েছে, তাই C-এর মান জেনে, আপনি নিম্নলিখিত উপায়ে অবিচ্ছেদ্য সূত্রগুলিকে রূপান্তর করতে পারেন:

∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx।
∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx।
∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x)।
∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C।

লগারিদমিক এবং সূচকীয় ফাংশনের ইন্টিগ্রেলগুলিও রূপান্তরিত হতে পারে:

∫lnxdx = xlnx − x + C.
∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + সি.
∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C।
∫eⁿdx = eⁿ + C.
∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.

ত্রিকোণমিতিতে, পূর্ণাঙ্গ রূপান্তরের জন্য কমপক্ষে 15টি সূত্র ব্যবহার করা হয়, যার মধ্যে সবচেয়ে সহজ হল:

∫sinxdx = −cosx + C.
∫cosxdx = sinx + C.
∫tgxdx = −ln|cosx| + সি.

সেক্যান্ট, কোসেক্যান্ট, আর্কটেনজেন্ট ইত্যাদির জন্য অনুরূপ সূত্র বিদ্যমান। শুধুমাত্র একটি কম্পিউটার, অথবা বরং একটি ইন্টিগ্রেশন ফাংশন সহ একটি বিশেষ অ্যাপ্লিকেশন, তাদের দ্রুত গণনা করতে পারে (ভেরিয়েবল প্রতিস্থাপনের পরে)।

একটি নির্দিষ্ট বা অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য, বা একটি ফাংশনের একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ দ্রুত গণনা করতে, আমাদের ক্যালকুলেটর ব্যবহার করুন। এটিতে সংখ্যাসূচক মানগুলি প্রতিস্থাপন করা এবং গণনার পরামিতিগুলি নির্বাচন করা যথেষ্ট। ফলাফলটি একটি বিভক্ত সেকেন্ডে স্ক্রিনে প্রদর্শিত হবে, যা আপনাকে দীর্ঘ এবং জটিল গণনা করার প্রয়োজন থেকে রক্ষা করবে।

মাল্টিপল (ডাবল, ট্রিপল) ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলেটর

অসংখ্যা গণনা করা একটি জটিল প্রক্রিয়া যা আজ প্রায় সবসময় কম্পিউটার প্রযুক্তির উপর ন্যস্ত করা হয়। যেকোনো ব্যবহারকারী সংশ্লিষ্ট অনলাইন অ্যাপ্লিকেশন খুলতে, মান লিখতে এবং দ্রুত ফলাফল পেতে পারে।

আপনি যদি অবিচ্ছেদ্য সমীকরণগুলি কীভাবে সমাধান করতে হয় তা শিখতে চান তবে এটি অন্য বিষয়, শুধুমাত্র চূড়ান্ত উত্তর পাওয়া নয়, গণনা প্রক্রিয়ার মধ্যেও অনুসন্ধান করা। এই বিষয়টি বোঝার আগে, এটির বৈশিষ্ট্যযুক্ত সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ধারণাগুলি পরিষ্কার করা মূল্যবান:

ফাংশন (f(x))। এটি এমন একটি নিয়ম যা অনুসারে একটি সেটের সমস্ত উপাদান অন্য সেটের উপাদানগুলির সাথে সম্পর্কিত।
ডেরিভেটিভ। এটি আর্গুমেন্ট ইনক্রিমেন্ট থেকে ফাংশন ইনক্রিমেন্টের অনুপাতের সীমা। ডেরিভেটিভ প্রতিটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে অন্য ফাংশনের পরিবর্তনের হার বর্ণনা করে।
সীমা। এটি সর্বাধিক মান যেটির জন্য ফাংশন চেষ্টা করে।
বৃদ্ধি। এটি একটি ফাংশনের যুক্তিতে পরিবর্তনের প্রতিক্রিয়ায় একটি পরিমাণগত পরিবর্তন।
ইন্টিগ্রাল (∫)। একটি ফাংশনের অ্যান্টিডেরিভেটিভ প্লাস একটি ধ্রুবক (C)।
স্বাধীন ভেরিয়েবলের পার্থক্য (dx)। একটি অসীম মান, ইন্টিগ্রেশনে এটি ফাংশনের বৃদ্ধির অংশ।

একটি সীমা একটি মান যা একটি ফাংশন প্রবণ হয়, কিন্তু কখনই পৌঁছাতে পারে না। পরিবর্তে, dx শূন্যের দিকে ঝোঁক, এবং স্বাধীন ভেরিয়েবলের ডিফারেনশিয়ালের মান যত কম হবে, ইন্টিগ্রেশন ফলাফল তত বেশি নির্ভুল হবে।

একীকরণ প্রক্রিয়া

ইন্টিগ্রেল হল উচ্চতর গণিতের একটি শাখা যা স্কুলে অধ্যয়ন করা হয় না। অতএব, বেশিরভাগ লোকের জন্য এই বিষয়টি অস্পষ্ট। কিন্তু আসলে, এটা বোঝা এতটা কঠিন নয়, আপনাকে শুধু নিম্নলিখিত অ্যালগরিদম ব্যবহার করতে হবে:

ইন্টিগ্রেশনের মৌলিক ধারণাগুলি অধ্যয়ন করুন: ফাংশন, ডেরিভেটিভ, সীমা, বৃদ্ধি, ইত্যাদি ফাংশনের গ্রাফ এবং অ্যাবসিসা অক্ষ (x) এবং ইন্টিগ্রেশনের সীমার মধ্যে।
অ্যান্টিডেরিভেটিভের টেবিল ব্যবহার করতে শিখুন। এটি প্রাথমিকভাবে সহজতম এবং সবচেয়ে সাধারণ অখণ্ডগুলির জন্য সমাধান রয়েছে৷
অভিন্ন সমাধান করার অনুশীলন করুন। সাধারণ উদাহরণ দিয়ে শুরু করে এবং ধীরে ধীরে আরও জটিল উদাহরণের দিকে এগিয়ে গেলে, আপনি শিখবেন কীভাবে দ্রুত এবং ত্রুটি ছাড়াই ইন্টিগ্রেশন করতে হয়।

একটি ভাল সমাধান হবে প্রাপ্ত ফলাফলের পার্থক্য করে আপনার নিজের ফলাফল পরীক্ষা করা। যদি উদাহরণটি সঠিকভাবে সমাধান করা হয়, তাহলে চূড়ান্ত মানটি মূল অখণ্ডের সাথে মিলে যাবে।

দৃষ্টান্তমূলক উদাহরণ

একীকরণের সারমর্ম আরও ভালভাবে বোঝার জন্য, একটি সাইকেল এবং একটি ইলেকট্রনিক স্পিডোমিটার সহ একটি সাধারণ উদাহরণ বিবেচনা করুন যা গতির মান রেকর্ড করে। সাইকেলটি 2 ঘন্টায় 24 কিমি দূরত্ব অতিক্রম করেছে জেনে আমরা এর গতি নির্ধারণ করি - 12 কিমি/ঘন্টা৷

কিন্তু নড়াচড়া করার সময় এটি স্থির ছিল না। সাইকেলটি হয় ত্বরান্বিত বা ধীরগতির, এবং 12 কিমি/ঘন্টা একটি গড় গতি মাত্র। এটা বোঝা অসম্ভব করে তোলে যে সাইকেলটি এক সময় বা অন্য সময়ে কোন পর্যায়ে ছিল।

কিন্তু ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করে এটি নির্ধারণ করা যেতে পারে। যদি আমরা দূরত্বকে অনেক ছোট অংশে ভাগ করি এবং তাদের প্রত্যেকটিকে সংশ্লিষ্ট গতির মানের সাথে তুলনা করি, তাহলে আমরা একটি সরল রেখা নয়, ফাংশনের একটি ঘূর্ণন গ্রাফ পাব।

এতে যত বেশি সেগমেন্ট থাকবে, গণনার নির্ভুলতা তত বেশি হবে। এটি সর্বাধিক হয়ে যাবে যদি প্রতিটি ব্যবধান শূন্যের দিকে থাকে এবং তাদের সংখ্যা অসীমের দিকে থাকে। এই ব্যবধানগুলিকে গুণ করা এবং তারপরে ফলাফলগুলি যোগ করা হল অখণ্ডকে খুঁজে বের করা৷

অখণ্ডের ব্যবহারিক প্রয়োগ

একীকরণের বিষয়টি বোঝা কঠিন, কিন্তু তা সত্ত্বেও, এটি আজ জীবনের বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়। অনুশীলনে ইন্টিগ্রেল ব্যবহার করার কিছু উদাহরণ এখানে দেওয়া হল:

অর্থনৈতিক ঝুঁকি মূল্যায়ন। ইন্টিগ্রেশন লাভের সম্ভাবনা এবং বিনিয়োগের মূলধন হারানোর ঝুঁকি নির্ধারণে সহায়তা করে।
উৎপাদন। ইন্টিগ্রেলের সাহায্যে, এন্টারপ্রাইজগুলি কনটেইনারগুলির সর্বোত্তম ভলিউম নির্ধারণ করে যা মূলধন খরচ কমিয়ে দেয় এবং উত্পাদনশীলতা সর্বাধিক করে৷
ভবন নির্মাণ। যদি একটি জটিল পৃষ্ঠকে (গোলাকার, কৌণিক) আবৃত করতে হয়, তাহলে তার ক্ষেত্রফল পূর্ণাঙ্গ ব্যবহার করে গণনা করা হয়।
তরল পদার্থের আয়তন নির্ণয়। এটি করার জন্য, পাত্রের আকার এবং এর আকৃতি জানা যথেষ্ট।
উৎপাদনের পরিমাণ নির্ধারণ। ইন্টিগ্রেল ব্যবহার করে, আপনি আগাম হিসেব করতে পারেন যে পণ্যের প্রয়োজনীয় ভলিউম পাওয়ার জন্য কতটা কাঁচামাল/উপকরণের স্টক প্রয়োজন৷

কেউ অনেক দিন ধরে ম্যানুয়ালি ইন্টিগ্রেল গণনা করছে না; এর জন্য তারা কম্পিউটার প্রযুক্তি ব্যবহার করে, অন্তত ইঞ্জিনিয়ারিং ক্যালকুলেটর। কিন্তু তাদের কার্যকারিতা সীমিত; দ্বিগুণ এবং ত্রিগুণ, নির্দিষ্ট এবং অনির্দিষ্ট অখণ্ডগুলি খুঁজে পেতে বিশেষ অনলাইন ক্যালকুলেটর ব্যবহার করা অনেক সহজ এবং আরও দক্ষ৷

ইন্টিগ্র‍্যাল ক্যালকুলেটর

অখণ্ড ক্যালকুলাসের ইতিহাস

ফাংশন সংহত করার নিয়ম

মাল্টিপল (ডাবল, ট্রিপল) ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলেটর

একীকরণ প্রক্রিয়া

দৃষ্টান্তমূলক উদাহরণ

অখণ্ডের ব্যবহারিক প্রয়োগ