Calculadora d'integral
![Calculadora d'integral](/media/images/integral_calculator.webp)
En l'anàlisi matemàtica, la integral s'utilitza àmpliament: un anàleg continu d'una suma, aplicable per calcular àrees, volums, masses, distàncies i altres magnituds no constants (canviables).
Per exemple, la velocitat d'un vehicle, que pot canviar moltes vegades mentre es mou, o la freqüència d'un processador, que s'adapta als processos computacionals que s'estan duent a terme. És impossible descriure aquestes magnituds com un valor fix, ja que canvien constantment en el rang del mínim al màxim, però això es pot fer fàcilment mitjançant una integral.
En funció de si la magnitud mesurada té límits fixos, es distingeixen una integral definida i una indefinida. El primer els té, però el segon no. L'essència de la integració segueix sent la mateixa.
En termes simples, es tracta d'un conjunt d'operacions de multiplicació de diversos termes amb la seva suma posterior, o la suma d'un nombre infinit de multiplicacions realitzades amb termes infinitesimals. Avui la integració s'utilitza àmpliament per a:
- Trobar les àrees de figures geomètriques complexes per a les quals és impossible derivar una fórmula específica com S = a × b o S = π × r².
- Càlcul de les masses de cossos amb densitat desigual.
- Determinació de les distàncies recorregudes a diferents velocitats.
En matemàtiques (i altres ciències), una integral es denota amb una lletra allargada ∫, derivada de la S llatina (summa). En essència, una integral és la suma de molts termes multiplicats. A més, la integració ideal (sense errors) es pot dur a terme en relació amb quantitats finites i infinites.
Història del càlcul integral
Tot i que el concepte mateix d'"integral" encara no existia, el seu principi es va començar a utilitzar a l'antiga Grècia. Així, Arquimedes solia trobar l'àrea dels cercles un mètode el més proper possible a la integració moderna, és a dir, el mètode d'esgotament.
Consistia a encaixar una seqüència d'altres figures en un cercle regular, seguida de determinar el límit de les seves àrees. Una analogia directa amb aquests càlculs és trobar el límit d'una suma infinita mitjançant la integració.
Al principi, el mètode només s'utilitzava en geometria, però després va trobar aplicació en mecànica, economia, astronomia i altres ciències. I el seu nom modern, "integració", va sorgir només al segle XVII: durant la investigació dels científics europeus Isaac Newton i Gottfried Wilhelm Leibniz. La integral es va començar a utilitzar en sistemes de càlcul diferencial i va rebre una definició matemàtica clara: "antiderivada d'una funció".
En termes simples, una integral en geometria és l'àrea d'una figura curvilínia. La integral indefinida és l'àrea sencera, i la integral definida és l'àrea d'una àrea determinada. En conseqüència, el procés de trobar la derivada s'anomena diferenciació, i trobar l'antiderivada s'anomena integració.
Normes per integrar funcions
Quan es treballa amb integrals, podeu utilitzar fórmules de transformació, sempre que utilitzin la constant C. Es determina si es coneix el valor de la integral en un punt específic (presos arbitràriament).
Com que cada funció té un nombre infinit d'antiderivades, coneixent el valor de C, podeu transformar fórmules integrals de les maneres següents:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Les integrals de les funcions logarítmiques i exponencials també es poden transformar:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
En trigonometria, s'utilitzen almenys 15 fórmules per transformar integrals, les més senzilles de les quals són:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
Hi ha fórmules semblants per a secants, cosecants, arctangents, etc. Només un ordinador, o més aviat una aplicació especial amb funció d'integració, pot calcular-los ràpidament (després de substituir variables).
Per calcular ràpidament una integral definida o indefinida, o una antiderivada d'una funció, utilitzeu la nostra calculadora. N'hi ha prou amb substituir-hi valors numèrics i seleccionar paràmetres de càlcul. El resultat es mostrarà a la pantalla en una fracció de segon, cosa que us estalviarà la necessitat de realitzar càlculs llargs i complexos.