Kalkulačka integrál
V matematické analýze je široce používán integrál - spojitá analogie součtu, použitelná pro výpočet ploch, objemů, hmotností, vzdáleností a dalších nekonstantních (proměnných) veličin.
Například rychlost vozidla, která se může během pohybu mnohokrát měnit, nebo frekvence procesoru, který se přizpůsobuje prováděným výpočetním procesům. Je nemožné popsat tyto veličiny jako pevnou hodnotu, protože se neustále mění v rozsahu od minima do maxima, ale to lze snadno provést pomocí integrálu.
Podle toho, zda má měřená veličina pevné meze, se rozlišuje určitý a neurčitý integrál. První je má, ale druhý ne. Podstata integrace zůstává stejná.
Zjednodušeně se jedná o množinu operací násobení několika členů s jejich následným sečtením nebo součet nekonečného počtu násobení provedených s nekonečně malými členy. Dnes se integrace široce používá pro:
- Nalezení oblastí složitých geometrických útvarů, pro které není možné odvodit konkrétní vzorec jako S = a × b nebo S = π × r².
- Výpočet hmotností těles s nerovnoměrnou hustotou.
- Určení ujetých vzdáleností při různých rychlostech.
V matematice (a dalších vědách) se integrál označuje protáhlým písmenem ∫, odvozeným z latinského S (summa). V podstatě je integrál součtem mnoha násobených členů. Kromě toho lze ideální integraci (bez chyb) provést ve vztahu ke konečným i nekonečným veličinám.
Historie integrálního počtu
Přestože samotný pojem „integrál“ ještě neexistoval, jeho princip se začal používat již ve starověkém Řecku. Archimedes tedy použil k nalezení oblasti kruhů metodu, která se co nejvíce blížila moderní integraci, konkrétně metodu vyčerpání.
Spočívalo v sesazení řady dalších obrazců do pravidelného kruhu s následným určením hranice jejich ploch. Přímou analogií k těmto výpočtům je nalezení limity nekonečného součtu pomocí integrace.
Zpočátku se metoda používala pouze v geometrii, ale poté našla uplatnění v mechanice, ekonomii, astronomii a dalších vědách. A jeho moderní název „integrace“ vznikl až v 17. století: během výzkumu evropských vědců Isaaca Newtona a Gottfrieda Wilhelma Leibnize. Integrál se začal používat v systémech diferenciálního počtu a dostal jasnou matematickou definici – „primitivní derivace funkce“.
Zjednodušeně řečeno, integrál v geometrii je plocha křivočarého obrazce. Neurčitý integrál je celá plocha a určitý integrál je plocha v dané oblasti. V souladu s tím se proces hledání derivátu nazývá diferenciace a nalezení primitivního prvku se nazývá integrace.
Pravidla pro integraci funkcí
Při práci s integrály můžete použít transformační vzorce za předpokladu, že používají konstantu C. Určuje se, zda je známa hodnota integrálu v určitém (libovolně zvoleném) bodě.
Vzhledem k tomu, že každá funkce má nekonečný počet primitivních funkcí, můžete při znalosti hodnoty C transformovat integrální vzorce následujícími způsoby:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Integrály logaritmických a exponenciálních funkcí lze také transformovat:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
V trigonometrii se pro transformaci integrálů používá alespoň 15 vzorců, z nichž nejjednodušší jsou:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
Podobné vzorce existují pro sekans, kosekans, arktangens a tak dále. Rychle je (po dosazení proměnných) dokáže vypočítat pouze počítač, nebo spíše speciální aplikace s integrační funkcí.
Pro rychlý výpočet určitého nebo neurčitého integrálu nebo primitivní funkce funkce použijte naši kalkulačku. Stačí do něj dosadit číselné hodnoty a vybrat parametry výpočtu. Výsledek se zobrazí na obrazovce během zlomku sekundy, což vám ušetří nutnost provádět dlouhé a složité výpočty.
