Integralberegner
![Integralberegner](/media/images/integral_calculator.webp)
I matematisk analyse er integralet meget brugt - en kontinuerlig analog af en sum, der er anvendelig til beregning af arealer, volumener, masser, afstande og andre ikke-konstante (foranderlige) størrelser.
For eksempel et køretøjs hastighed, som kan ændre sig mange gange under bevægelse, eller frekvensen af en processor, som tilpasser sig de beregningsprocesser, der udføres. Det er umuligt at beskrive disse mængder som en fast værdi, da de konstant ændrer sig i området fra minimum til maksimum, men dette kan nemt gøres ved hjælp af et integral.
Afhængigt af om den målte størrelse har faste grænser, skelnes der mellem et bestemt og ubestemt integral. Den første har dem, men den anden har ikke. Essensen af integration forbliver den samme.
I simple termer er dette et sæt af operationer med multiplikation af flere led med deres efterfølgende summering, eller summen af et uendeligt antal multiplikationer udført med infinitesimale led. I dag er integration meget brugt til:
- Find arealer af komplekse geometriske figurer, for hvilke det er umuligt at udlede en specifik formel som S = a × b eller S = π × r².
- Beregning af masser af legemer med ujævn massefylde.
- Bestemmelse af tilbagelagte afstande med varierende hastigheder.
I matematik (og andre videnskaber) er et integral betegnet med et aflangt bogstav ∫, afledt af det latinske S (summa). I det væsentlige er et integral summen af mange multiplicerede led. Desuden kan ideel integration (uden fejl) udføres i forhold til både endelige og uendelige mængder.
Historie for integralregning
Selvom selve begrebet "integral" endnu ikke eksisterede, begyndte dets princip at blive brugt tilbage i det antikke Grækenland. Således plejede Archimedes at finde området af cirkler en metode, der var så tæt som muligt på moderne integration, nemlig udmattelsesmetoden.
Det bestod i at passe en sekvens af andre figurer ind i en regulær cirkel, efterfulgt af at bestemme grænsen for deres områder. En direkte analogi til disse beregninger er at finde grænsen for en uendelig sum ved hjælp af integration.
Oprindeligt blev metoden kun brugt i geometri, men fandt derefter anvendelse i mekanik, økonomi, astronomi og andre videnskaber. Og dets moderne navn, "integration", opstod først i det 17. århundrede: under de europæiske videnskabsmænds forskning Isaac Newton og Gottfried Wilhelm Leibniz. Integralet begyndte at blive brugt i differentialregningssystemer, og det fik en klar matematisk definition - "antiderivat af en funktion."
Som enkelt er et integral i geometri arealet af en krumlinjet figur. Det ubestemte integral er hele arealet, og det bestemte integral er arealet i et givet område. Derfor kaldes processen med at finde derivatet differentiering, og at finde antiderivatet kaldes integration.
Regler for integration af funktioner
Når du arbejder med integraler, kan du bruge transformationsformler, forudsat at de bruger konstanten C. Det bestemmes, om værdien af integralet på et bestemt (vilkårligt taget) punkt er kendt.
Da hver funktion har et uendeligt antal antiderivater, ved at kende værdien af C, kan du transformere integralformler på følgende måder:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Integraler af logaritmiske og eksponentielle funktioner kan også transformeres:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
I trigonometri bruges mindst 15 formler til transformation af integraler, hvoraf de enkleste er:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
Der findes lignende formler for sekanter, cosekanter, arctangenser og så videre. Kun en computer, eller rettere en speciel applikation med en integrationsfunktion, kan beregne dem hurtigt (efter at have erstattet variabler).
For hurtigt at beregne et bestemt eller ubestemt integral, eller en antiafledt af en funktion, skal du bruge vores lommeregner. Det er nok at erstatte numeriske værdier i det og vælge beregningsparametre. Resultatet vil blive vist på skærmen på et splitsekund, hvilket vil spare dig for behovet for at udføre lange og komplekse beregninger.