Ganze-Zahlen-Rechner
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In der mathematischen Analyse wird häufig das Integral verwendet – ein kontinuierliches Analogon einer Summe, das zur Berechnung von Flächen, Volumina, Massen, Abständen und anderen nicht konstanten (veränderlichen) Größen anwendbar ist.
Zum Beispiel die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs, die sich während der Fahrt mehrfach ändern kann, oder die Frequenz eines Prozessors, der sich an die ausgeführten Rechenprozesse anpasst. Es ist unmöglich, diese Größen als feste Größe zu beschreiben, da sie sich im Bereich vom Minimum zum Maximum ständig ändern, aber dies lässt sich leicht über ein Integral bewerkstelligen.
Je nachdem, ob die Messgröße feste Grenzen hat, unterscheidet man ein bestimmtes und ein unbestimmtes Integral. Der erste hat sie, der zweite jedoch nicht. Das Wesen der Integration bleibt dasselbe.
Einfach ausgedrückt ist dies eine Reihe von Multiplikationsoperationen mehrerer Terme mit anschließender Summation oder die Summe einer unendlichen Anzahl von Multiplikationen, die mit infinitesimalen Termen durchgeführt werden. Heutzutage wird Integration häufig verwendet für:
- Finden der Bereiche komplexer geometrischer Figuren, für die es unmöglich ist, eine spezifische Formel wie S = a × b oder S = π × r² abzuleiten.
- Berechnung der Massen von Körpern mit ungleichmäßiger Dichte.
- Ermittlung der zurückgelegten Distanzen bei unterschiedlichen Geschwindigkeiten.
In der Mathematik (und anderen Wissenschaften) wird ein Integral durch einen verlängerten Buchstaben ∫ bezeichnet, abgeleitet vom lateinischen S (summa). Im Wesentlichen ist ein Integral die Summe vieler multiplizierter Terme. Darüber hinaus kann eine ideale Integration (ohne Fehler) sowohl in Bezug auf endliche als auch in Bezug auf unendliche Größen durchgeführt werden.
Geschichte der Integralrechnung
Obwohl das eigentliche Konzept des „Integral“ noch nicht existierte, wurde sein Prinzip bereits im antiken Griechenland verwendet. So verwendete Archimedes zur Ermittlung der Fläche von Kreisen eine Methode, die der modernen Integration am nächsten kam, nämlich die Erschöpfungsmethode.
Es bestand darin, eine Folge anderer Figuren in einen regelmäßigen Kreis einzupassen und anschließend die Grenzen ihrer Flächen zu bestimmen. Eine direkte Analogie zu diesen Berechnungen besteht darin, mithilfe der Integration den Grenzwert einer unendlichen Summe zu finden.
Anfangs wurde die Methode nur in der Geometrie verwendet, fand dann aber Anwendung in der Mechanik, Wirtschaft, Astronomie und anderen Wissenschaften. Und sein moderner Name „Integration“ entstand erst im 17. Jahrhundert: während der Forschung der europäischen Wissenschaftler Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz. Das Integral wurde in Differentialrechnungssystemen verwendet und erhielt eine klare mathematische Definition – „Stammfunktion einer Funktion“.
Einfach ausgedrückt ist ein Integral in der Geometrie die Fläche einer krummlinigen Figur. Das unbestimmte Integral ist die gesamte Fläche, und das bestimmte Integral ist die Fläche in einer bestimmten Fläche. Dementsprechend wird das Finden der Ableitung als Differentiation und das Finden der Stammfunktion als Integration bezeichnet.
Regeln zur Integration von Funktionen
Bei der Arbeit mit Integralen können Sie Transformationsformeln verwenden, sofern diese die Konstante C verwenden. Sie wird ermittelt, wenn der Wert des Integrals an einem bestimmten (willkürlich genommenen) Punkt bekannt ist.
Da jede Funktion unendlich viele Stammfunktionen hat und Sie den Wert von C kennen, können Sie Integralformeln auf folgende Weise umwandeln:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Integrale logarithmischer und exponentieller Funktionen können ebenfalls transformiert werden:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
In der Trigonometrie werden mindestens 15 Formeln zur Transformation von Integralen verwendet, die einfachsten davon sind:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
Ähnliche Formeln gibt es für Sekanten, Kosekanten, Arkustangens usw. Nur ein Computer bzw. eine spezielle Anwendung mit Integrationsfunktion kann sie schnell berechnen (nach dem Ersetzen von Variablen).
Um schnell ein bestimmtes oder unbestimmtes Integral oder eine Stammfunktion einer Funktion zu berechnen, verwenden Sie unseren Rechner. Es reicht aus, numerische Werte darin einzusetzen und Berechnungsparameter auszuwählen. Das Ergebnis wird im Bruchteil einer Sekunde auf dem Bildschirm angezeigt, sodass Sie keine langen und komplexen Berechnungen durchführen müssen.