Calculadora de integrales
En el análisis matemático, se usa ampliamente la integral, un análogo continuo de una suma, aplicable para calcular áreas, volúmenes, masas, distancias y otras cantidades no constantes (cambiables).
Por ejemplo, la velocidad de un vehículo, que puede cambiar muchas veces mientras se mueve, o la frecuencia de un procesador, que se adapta a los procesos computacionales que se realizan. Es imposible describir estas cantidades como un valor fijo, ya que cambian constantemente en el rango del mínimo al máximo, pero esto se puede hacer fácilmente usando una integral.
Dependiendo de si la cantidad medida tiene límites fijos, se distingue una integral definida e indefinida. El primero los tiene, pero el segundo no. La esencia de la integración sigue siendo la misma.
En términos simples, se trata de un conjunto de operaciones de multiplicación de varios términos con su posterior suma, o la suma de un número infinito de multiplicaciones realizadas con términos infinitesimales. Hoy en día la integración se utiliza ampliamente para:
- Encontrar las áreas de figuras geométricas complejas para las cuales es imposible derivar una fórmula específica como S = a × b o S = π × r².
- Cálculo de las masas de cuerpos con densidad desigual.
- Determinación de distancias recorridas a diferentes velocidades.
En matemáticas (y otras ciencias), una integral se denota con una letra alargada ∫, derivada del latín S (summa). En esencia, una integral es la suma de muchos términos multiplicados. Además, la integración ideal (sin errores) se puede realizar tanto en relación con cantidades finitas como infinitas.
Historia del cálculo integral
Aunque el concepto mismo de “integral” aún no existía, su principio comenzó a utilizarse en la Antigua Grecia. Así, Arquímedes solía encontrar el área de los círculos con un método lo más cercano posible a la integración moderna, concretamente el método del agotamiento.
Consistía en encajar una secuencia de otras figuras en un círculo regular, seguido de determinar el límite de sus áreas. Una analogía directa con estos cálculos es encontrar el límite de una suma infinita mediante la integración.
Al principio, el método se utilizó sólo en geometría, pero luego encontró aplicación en mecánica, economía, astronomía y otras ciencias. Y su nombre moderno, “integración”, surgió recién en el siglo XVII: durante las investigaciones de los científicos europeos Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz. La integral comenzó a usarse en sistemas de cálculo diferencial y recibió una definición matemática clara: "antiderivada de una función".
En términos simples, una integral en geometría es el área de una figura curvilínea. La integral indefinida es el área entera y la integral definida es el área en un área determinada. En consecuencia, el proceso de encontrar la derivada se llama diferenciación y encontrar la primitiva se llama integración.
Reglas para integrar funciones
Cuando se trabaja con integrales, se pueden utilizar fórmulas de transformación, siempre que utilicen la constante C. Se determina si se conoce el valor de la integral en un punto específico (tomado arbitrariamente).
Dado que cada función tiene un número infinito de primitivas, conociendo el valor de C, puedes transformar fórmulas integrales de las siguientes maneras:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Las integrales de funciones logarítmicas y exponenciales también se pueden transformar:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
En trigonometría se utilizan al menos 15 fórmulas para transformar integrales, las más simples de las cuales son:
- ∫senxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = senx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
Existen fórmulas similares para secantes, cosecantes, arcotangentes, etc. Sólo un ordenador, o más bien una aplicación especial con función de integración, puede calcularlos rápidamente (tras sustituir las variables).
Para calcular rápidamente una integral definida o indefinida, o una primitiva de una función, utiliza nuestra calculadora. Basta con sustituirle valores numéricos y seleccionar los parámetros de cálculo. El resultado se mostrará en la pantalla en una fracción de segundo, lo que te ahorrará la necesidad de realizar cálculos largos y complejos.