Integreeritud kalkulaator
![Integreeritud kalkulaator](/media/images/integral_calculator.webp)
Matemaatilises analüüsis kasutatakse laialdaselt integraali – summa pidevat analoogi, mida saab kasutada pindalade, mahtude, masside, kauguste ja muude mittekonstantsete (muutuvate) suuruste arvutamiseks.
Näiteks sõiduki kiirus, mis võib liikumise ajal mitu korda muutuda, või protsessori sagedus, mis kohandub sooritatavate arvutusprotsessidega. Neid suurusi on võimatu kirjeldada fikseeritud väärtusena, kuna need muutuvad pidevalt minimaalsest maksimumini, kuid seda saab hõlpsasti teha integraali abil.
Sõltuvalt sellest, kas mõõdetud suurusel on kindlad piirid, eristatakse kindlat ja määramatut integraali. Esimesel on need olemas, teisel aga mitte. Integratsiooni olemus jääb samaks.
Lihtsustatult öeldes on see mitme liikme korrutamise ja nende järgneva liitmise operatsioonide kogum või lõpmatu arvu korrutuste summa, mis tehakse lõpmata väikeste liikmetega. Tänapäeval kasutatakse integreerimist laialdaselt:
- Keeruliste geomeetriliste kujundite alade leidmine, mille jaoks on võimatu tuletada kindlat valemit, näiteks S = a × b või S = π × r².
- Ebaühtlase tihedusega kehade masside arvutamine.
- Erineva kiirusega läbitud vahemaade määramine.
Matemaatikas (ja teistes teadustes) tähistatakse integraali pikliku tähega ∫, mis tuleneb ladinakeelsest sõnast S (summa). Sisuliselt on integraal paljude korrutatud liikmete summa. Lisaks saab ideaalset integreerimist (vigadeta) teostada nii lõplike kui ka lõpmatute suuruste suhtes.
Integraaliarvutuse ajalugu
Kuigi mõistet "integraal" veel ei eksisteerinud, hakati selle põhimõtet kasutama juba Vana-Kreekas. Seega leidis Archimedes ringide ala meetodi, mis oli võimalikult lähedane tänapäevasele integratsioonile, nimelt ammendumismeetodit.
See seisnes teiste kujundite järjestuse sobitamises korrapärasesse ringi, millele järgnes nende pindalade piiri määramine. Otsene analoogia nende arvutustega on lõpmatu summa piiri leidmine integratsiooni abil.
Algul kasutati meetodit ainult geomeetrias, kuid seejärel leidis rakendust mehaanikas, majanduses, astronoomias ja teistes teadustes. Ja selle tänapäevane nimetus "integratsioon" tekkis alles 17. sajandil: Euroopa teadlaste Isaac Newtoni ja Gottfried Wilhelm Leibnizi uurimistöö käigus. Integraali hakati kasutama diferentsiaalarvutussüsteemides ja see sai selge matemaatilise definitsiooni – "funktsiooni antiderivaat".
Lihtsamalt öeldes on integraal geomeetrias kõverjoonelise kujundi pindala. Määramatu integraal on kogu pindala ja kindel integraal on pindala antud piirkonnas. Sellest lähtuvalt nimetatakse tuletise leidmise protsessi diferentseerimiseks ja antiderivaadi leidmist integreerimiseks.
Funktsioonide integreerimise reeglid
Integraalidega töötamisel saab kasutada teisendusvalemeid eeldusel, et need kasutavad konstanti C. Määratakse, kas integraali väärtus konkreetses (suvaliselt võetud) punktis on teada.
Kuna igal funktsioonil on lõpmatu arv antituletisi, saate C väärtust teades integraalvalemeid teisendada järgmistel viisidel.
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Logaritmiliste ja eksponentsiaalfunktsioonide integraale saab ka teisendada:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
Trigonomeetrias kasutatakse integraalide teisendamiseks vähemalt 15 valemit, millest lihtsaimad on:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
Sarnased valemid on olemas sekantide, koosekantide, arktangentide jms jaoks. Ainult arvuti või õigemini spetsiaalne integreerimisfunktsiooniga rakendus suudab neid kiiresti (pärast muutujate asendamist) arvutada.
Kindla või määramata integraali või funktsiooni antituletise kiireks arvutamiseks kasutage meie kalkulaatorit. Piisab, kui asendada sellesse arvväärtused ja valida arvutusparameetrid. Tulemus kuvatakse ekraanil sekundi murdosa jooksul, mis säästab teid pikkade ja keerukate arvutuste tegemise vajadusest.