ماشین حساب حل انتگرال
![ماشین حساب حل انتگرال](/media/images/integral_calculator.webp)
در تجزیه و تحلیل ریاضی، انتگرال به طور گسترده استفاده می شود - یک آنالوگ پیوسته از مجموع، قابل استفاده برای محاسبه مساحت ها، حجم ها، جرم ها، فواصل و سایر کمیت های غیر ثابت (قابل تغییر).
به عنوان مثال، سرعت یک وسیله نقلیه، که می تواند چندین بار در حین حرکت تغییر کند، یا فرکانس یک پردازنده، که با فرآیندهای محاسباتی در حال انجام سازگار می شود. توصیف این مقادیر به عنوان یک مقدار ثابت غیرممکن است، زیرا آنها دائماً در محدوده از حداقل به حداکثر تغییر می کنند، اما این کار را می توان به راحتی با استفاده از یک انتگرال انجام داد.
بسته به اینکه کمیت اندازه گیری شده دارای حدود ثابت باشد، یک انتگرال معین و نامعین از هم متمایز می شوند. اولی آنها را دارد، اما دومی ندارد. ماهیت ادغام یکسان است.
به عبارت ساده، این مجموعه ای از عملیات ضرب چند جمله با جمع بعدی آنها، یا مجموع تعداد نامتناهی از ضرب انجام شده با جملات بی نهایت کوچک است. امروزه ادغام به طور گسترده برای موارد زیر استفاده می شود:
- پیدا کردن نواحی اشکال هندسی پیچیده که استخراج فرمول خاصی مانند S = a × b یا S = π × r² برای آنها غیرممکن است.
- محاسبه جرم اجسام با چگالی ناهموار.
- تعیین مسافت طی شده با سرعت های مختلف.
در ریاضیات (و سایر علوم)، یک انتگرال با یک حرف دراز ∫ که از کلمه لاتین S (summa) مشتق شده است نشان داده می شود. در اصل، یک انتگرال مجموع بسیاری از عبارت های ضرب شده است. علاوه بر این، یکپارچگی ایده آل (بدون خطا) را می توان در رابطه با مقادیر متناهی و نامحدود انجام داد.
تاریخچه حساب انتگرال
اگرچه مفهوم "انتگرال" هنوز وجود نداشت، اصل آن در یونان باستان شروع به استفاده کرد. بنابراین، ارشمیدس برای یافتن مساحت دایرهها از روشی استفاده کرد که تا حد امکان به یکپارچگی مدرن نزدیک بود، یعنی روش فرسودگی.
این شامل برازش دنبالهای از شکلهای دیگر در یک دایره منظم و سپس تعیین حد مساحت آنها بود. یک قیاس مستقیم با این محاسبات، یافتن حد یک مجموع نامتناهی با استفاده از ادغام است.
در ابتدا، این روش فقط در هندسه مورد استفاده قرار گرفت، اما سپس در مکانیک، اقتصاد، نجوم و سایر علوم کاربرد پیدا کرد. و نام مدرن آن، "ادغام" تنها در قرن هفدهم به وجود آمد: در طول تحقیقات دانشمندان اروپایی اسحاق نیوتن و گوتفرید ویلهلم لایبنیتس. انتگرال شروع به استفاده در سیستم های حساب دیفرانسیل کرد و یک تعریف ریاضی واضح - "ضد مشتق یک تابع" دریافت کرد.
به زبان ساده، یک انتگرال در هندسه مساحت یک شکل منحنی است. انتگرال نامعین کل مساحت است و انتگرال معین مساحت یک ناحیه معین است. بر این اساس، فرآیند یافتن مشتق را تمایز و یافتن ضد مشتق را ادغام می نامند.
قوانین ادغام توابع
هنگام کار با انتگرال ها، می توانید از فرمول های تبدیل استفاده کنید، مشروط بر اینکه از ثابت C استفاده کنند. مشخص می شود که آیا مقدار انتگرال در یک نقطه خاص (به طور دلخواه گرفته شده) مشخص است یا خیر.
از آنجایی که هر تابع دارای تعداد نامتناهی ضد مشتق است، با دانستن مقدار C، میتوانید فرمولهای انتگرال را به روشهای زیر تبدیل کنید:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
انتگرالهای توابع لگاریتمی و نمایی را نیز میتوان تبدیل کرد:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
در مثلثات حداقل 15 فرمول برای تبدیل انتگرال استفاده می شود که ساده ترین آنها عبارتند از:
- ∫sinxdx = -cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
فرمولهای مشابهی برای secants، cosecants، arcttangents و غیره وجود دارد. فقط یک کامپیوتر، یا بهتر است بگوییم یک برنامه خاص با یک تابع یکپارچه سازی، می تواند آنها را به سرعت محاسبه کند (پس از جایگزینی متغیرها).
برای محاسبه سریع یک انتگرال معین یا نامعین، یا ضد مشتق یک تابع، از ماشین حساب ما استفاده کنید. کافی است مقادیر عددی را در آن جایگزین کنید و پارامترهای محاسبه را انتخاب کنید. نتیجه در کسری از ثانیه روی صفحه نمایش داده می شود که شما را از نیاز به انجام محاسبات طولانی و پیچیده نجات می دهد.