Integraatiolaskin
![Integraatiolaskin](/media/images/integral_calculator.webp)
Matemaattisessa analyysissä integraalia käytetään laajalti – jatkuvana summan analogina, jota voidaan soveltaa pinta-alojen, tilavuuksien, massojen, etäisyyksien ja muiden ei-vakioiden (muutettavissa olevien) määrien laskemiseen.
Esimerkiksi ajoneuvon nopeus, joka voi muuttua monta kertaa liikkeessä, tai suorittimen taajuus, joka mukautuu suoritettaviin laskentaprosesseihin. Näitä suureita on mahdotonta kuvata kiinteänä arvona, koska ne muuttuvat jatkuvasti minimistä maksimiin, mutta tämä voidaan tehdä helposti integraalilla.
Riippuen siitä, onko mitatulla suurella kiinteät rajat, erotetaan selvä ja epämääräinen integraali. Ensimmäisellä on ne, mutta toisella ei. Integraation olemus pysyy samana.
Yksinkertaisesti sanottuna tämä on joukko operaatioita, joissa kerrotaan useista termeistä ja niiden myöhemmästä summauksesta, tai äärettömän määrän kertolaskujen summa äärettömän pienillä termeillä. Nykyään integraatiota käytetään laajalti seuraaviin tarkoituksiin:
- Löytää monimutkaisten geometristen kuvioiden alueet, joille on mahdotonta johtaa tiettyä kaavaa, kuten S = a × b tai S = π × r².
- Epätasaisen tiheyden omaavien kappaleiden massojen laskeminen.
- Vaihtelevilla nopeuksilla kuljettujen matkojen määrittäminen.
Matematiikassa (ja muissa tieteissä) integraalia merkitään pitkänomaisella kirjaimella ∫, joka on johdettu latinalaisesta S:stä (summa). Pohjimmiltaan integraali on monien kerrottujen termien summa. Lisäksi ihanteellinen integrointi (ilman virheitä) voidaan suorittaa sekä äärellisille että äärettömille suureille.
Integraalilaskennan historia
Vaikka "integraalin" käsitettä ei vielä ollut olemassa, sen periaatetta alettiin käyttää muinaisessa Kreikassa. Siten Archimedes löysi ympyröiden alueen menetelmän, joka oli mahdollisimman lähellä nykyaikaista integraatiota, nimittäin uupumusmenetelmää.
Se koostui muiden hahmojen sarjan sovittamisesta säännölliseen ympyrään, minkä jälkeen määritettiin niiden pinta-alojen raja. Suora analogia näihin laskelmiin on äärettömän summan rajan löytäminen integroinnin avulla.
Menetelmää käytettiin alun perin vain geometriassa, mutta sitten sitä sovellettiin mekaniikassa, taloustieteessä, tähtitiedessä ja muissa tieteissä. Ja sen moderni nimi "integraatio" syntyi vasta 1600-luvulla: eurooppalaisten tutkijoiden Isaac Newtonin ja Gottfried Wilhelm Leibnizin tutkimuksen aikana. Integraalia alettiin käyttää differentiaalilaskentajärjestelmissä, ja se sai selkeän matemaattisen määritelmän - "funktion antiderivaata".
Yksinkertaisesti sanottuna geometrian integraali on kaarevan kuvion pinta-ala. Epämääräinen integraali on koko alue, ja määrällinen integraali on alue tietyllä alueella. Näin ollen derivaatan löytämisprosessia kutsutaan differentiaatioksi ja antiderivaatan löytämistä integraatioksi.
Säännöt funktioiden integroimiseksi
Integraalien kanssa työskennellessäsi voit käyttää muunnoskaavoja edellyttäen, että niissä käytetään vakiota C. Määritetään, onko integraalin arvo tiedossa tietyssä (mielivaltaisessa) pisteessä.
Koska jokaisella funktiolla on ääretön määrä antiderivaataita, voit muuntaa integraalikaavoja C:n arvon perusteella seuraavilla tavoilla:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Logaritmisen ja eksponentiaalisen funktion integraalit voidaan myös muuntaa:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
Trigonometriassa integraalien muuntamiseen käytetään vähintään 15 kaavaa, joista yksinkertaisimmat ovat:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
Samanlaisia kaavoja on olemassa sekanteille, kosekanteille, arktangenteille ja niin edelleen. Vain tietokone tai pikemminkin erityinen integrointitoiminnolla varustettu sovellus voi laskea ne nopeasti (muuttujien korvaamisen jälkeen).
Laskeaksesi nopeasti määrätyn tai määrittelemättömän integraalin tai funktion antiderivaatan, käytä laskintamme. Riittää, kun korvaat siihen numeroarvot ja valitset laskentaparametrit. Tulos näkyy näytöllä sekunnin murto-osassa, mikä säästää pitkiä ja monimutkaisia laskelmia.