Calculateur d'intégrales
![Calculateur d'intégrales](/media/images/integral_calculator.webp)
En analyse mathématique, l'intégrale est largement utilisée - un analogue continu d'une somme, applicable pour calculer des surfaces, des volumes, des masses, des distances et d'autres quantités non constantes (modifiables).
Par exemple, la vitesse d'un véhicule, qui peut changer plusieurs fois lors du déplacement, ou la fréquence d'un processeur, qui s'adapte aux processus de calcul en cours. Il est impossible de décrire ces quantités comme une valeur fixe, car elles changent constamment entre le minimum et le maximum, mais cela peut être facilement fait en utilisant une intégrale.
Selon que la quantité mesurée a des limites fixes, on distingue une intégrale définie et une intégrale indéfinie. Le premier en a, mais pas le second. L'essence de l'intégration reste la même.
En termes simples, il s'agit d'un ensemble d'opérations de multiplication de plusieurs termes avec leur sommation ultérieure, ou la somme d'un nombre infini de multiplications effectuées avec des termes infinitésimaux. Aujourd'hui, l'intégration est largement utilisée pour :
- Trouver les aires de figures géométriques complexes pour lesquelles il est impossible de dériver une formule spécifique telle que S = a × b ou S = π × r².
- Calcul des masses de corps de densité inégale.
- Détermination des distances parcourues à différentes vitesses.
En mathématiques (et dans d'autres sciences), une intégrale est désignée par une lettre allongée ∫, dérivée du latin S (summa). Essentiellement, une intégrale est la somme de plusieurs termes multipliés. De plus, une intégration idéale (sans erreurs) peut être réalisée aussi bien pour des quantités finies qu'infinies.
Histoire du calcul intégral
Bien que le concept même d'« intégral » n'existait pas encore, son principe a commencé à être utilisé dès la Grèce antique. Ainsi, Archimède avait pour habitude de trouver à l'aire des cercles une méthode la plus proche possible de l'intégration moderne, à savoir la méthode de l'épuisement.
Il s'agissait d'insérer une séquence d'autres figures dans un cercle régulier, puis de déterminer la limite de leurs aires. Une analogie directe avec ces calculs consiste à trouver la limite d'une somme infinie à l'aide de l'intégration.
Au départ, la méthode n'était utilisée qu'en géométrie, mais a ensuite trouvé des applications en mécanique, en économie, en astronomie et dans d'autres sciences. Et son nom moderne, « intégration », n’est apparu qu’au XVIIe siècle : lors des recherches des scientifiques européens Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz. L'intégrale a commencé à être utilisée dans les systèmes de calcul différentiel et a reçu une définition mathématique claire : « primitive d'une fonction ».
En termes simples, une intégrale en géométrie est l'aire d'une figure curviligne. L'intégrale indéfinie est l'aire entière et l'intégrale définie est l'aire d'une aire donnée. En conséquence, le processus de recherche de la dérivée est appelé différenciation, et la recherche de la primitive est appelée intégration.
Règles d'intégration des fonctions
Lorsque vous travaillez avec des intégrales, vous pouvez utiliser des formules de transformation, à condition qu'elles utilisent la constante C. Il est déterminé si la valeur de l'intégrale en un point spécifique (pris arbitrairement) est connue.
Puisque chaque fonction a un nombre infini de primitives, connaissant la valeur de C, vous pouvez transformer les formules intégrales des manières suivantes :
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Les intégrales de fonctions logarithmiques et exponentielles peuvent également être transformées :
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
En trigonométrie, au moins 15 formules de transformation d'intégrales sont utilisées, dont les plus simples sont :
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
Des formules similaires existent pour les sécantes, les cosécantes, les arctangentes, etc. Seul un ordinateur, ou plutôt une application spéciale dotée d'une fonction d'intégration, peut les calculer rapidement (après substitution de variables).
Pour calculer rapidement une intégrale définie ou indéfinie, ou une primitive d'une fonction, utilisez notre calculatrice. Il suffit d'y substituer des valeurs numériques et de sélectionner les paramètres de calcul. Le résultat s'affichera à l'écran en une fraction de seconde, ce qui vous évitera d'avoir à effectuer des calculs longs et complexes.