מחשבון אינטגרלי
בניתוח מתמטי, נעשה שימוש נרחב באינטגרל - אנלוגי רציף של סכום, המתאים לחישוב שטחים, נפחים, מסות, מרחקים וכמויות אחרות שאינן קבועות (ניתנות לשינוי).
לדוגמה, מהירות רכב, שיכולה להשתנות פעמים רבות תוך כדי תנועה, או תדר של מעבד, המתאים את עצמו לתהליכי החישוב המתבצעים. אי אפשר לתאר את הכמויות האלה כערך קבוע, מכיוון שהן משתנות כל הזמן בטווח ממינימום למקסימום, אך ניתן לעשות זאת בקלות באמצעות אינטגרל.
בהתאם אם לכמות הנמדדת יש גבולות קבועים, מבחינים באינטגרל מוגדר ובלתי מוגדר. לראשון יש אותם, אבל לשנייה אין. מהות האינטגרציה נשארת זהה.
במונחים פשוטים, זוהי קבוצה של פעולות של כפל של מספר איברים עם הסיכום הבא שלהם, או סכום של מספר אינסופי של כפלים המבוצעים עם איברים אינסופיים. כיום נעשה שימוש נרחב באינטגרציה עבור:
- מציאת השטחים של דמויות גיאומטריות מורכבות שעבורן אי אפשר לגזור נוסחה ספציפית כמו S = a × b או S = π × r².
- חישוב של המוני גופים בעלי צפיפות לא אחידה.
- קביעת מרחקים שנסעו במהירויות משתנות.
במתמטיקה (ובמדעים אחרים), אינטגרל מסומן באות ∫ מוארכת, שמקורה ב-S הלטינית (summa). במהותו, אינטגרל הוא סכום של איברים מוכפלים רבים. יתרה מכך, אינטגרציה אידיאלית (ללא שגיאות) יכולה להתבצע ביחס לכמויות סופיות ואינסופיות כאחד.
היסטוריה של חשבון אינטגרלי
למרות שעצם המושג "אינטגרל" עדיין לא היה קיים, העיקרון שלו החל לשמש עוד ביוון העתיקה. לפיכך, ארכימדס נהג למצוא את שטח המעגלים שיטה שהיתה קרובה ככל האפשר לאינטגרציה המודרנית, כלומר שיטת המיצוי.
זה כלל התאמת רצף של דמויות אחרות למעגל קבוע, ולאחר מכן קביעת גבול השטחים שלהן. אנלוגיה ישירה לחישובים אלו היא מציאת הגבול של סכום אינסופי באמצעות אינטגרציה.
בתחילה, השיטה שימשה רק בגיאומטריה, אך לאחר מכן מצאה יישום במכניקה, כלכלה, אסטרונומיה ומדעים אחרים. ושמה המודרני, "אינטגרציה", עלה רק במאה ה-17: במהלך מחקרם של המדענים האירופים אייזק ניוטון וגוטפריד וילהלם לייבניץ. האינטגרל החל לשמש במערכות חשבון דיפרנציאלי, והוא קיבל הגדרה מתמטית ברורה - "אנטי נגזרת של פונקציה."
במונחים פשוטים, אינטגרל בגיאומטריה הוא השטח של דמות עקומה. האינטגרל הבלתי מוגדר הוא השטח כולו, והאינטגרל המוגדר הוא השטח באזור נתון. בהתאם לכך, תהליך מציאת הנגזרת נקרא דיפרנציאציה, ומציאת האנטי-נגזרת נקראת אינטגרציה.
כללים לשילוב פונקציות
בעבודה עם אינטגרלים, ניתן להשתמש בנוסחאות טרנספורמציה, בתנאי שהן משתמשות בקבוע C. נקבע אם הערך של האינטגרל בנקודה מסוימת (שנלקחה באופן שרירותי) ידוע.
מכיוון שלכל פונקציה יש מספר אינסופי של נגזרות אנטי, בידיעת הערך של C, ניתן לשנות נוסחאות אינטגרליות בדרכים הבאות:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
ניתן גם להפוך אינטגרלים של פונקציות לוגריתמיות ואקספוננציאליות:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
בטריגונומטריה, נעשה שימוש לפחות ב-15 נוסחאות להמרת אינטגרלים, והפשוטות שבהן הן:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
נוסחאות דומות קיימות עבור סקנטים, קוסקונטים, ארקטנגנטים וכן הלאה. רק מחשב, או ליתר דיוק אפליקציה מיוחדת עם פונקציית אינטגרציה, יכול לחשב אותם במהירות (לאחר החלפת משתנים).
כדי לחשב במהירות אינטגרל מוגדר או בלתי מוגדר, או אנטי נגזרת של פונקציה, השתמש במחשבון שלנו. מספיק להחליף ערכים מספריים לתוכו ולבחור פרמטרים לחישוב. התוצאה תוצג על המסך בשבריר שנייה, מה שיחסוך מכם את הצורך בביצוע חישובים ארוכים ומורכבים.
