рдЗрдВрдЯреАрдЧреНрд░рд▓ рдХреИрд▓рдХреБрд▓реЗрдЯрд░
![рдЗрдВрдЯреАрдЧреНрд░рд▓ рдХреИрд▓рдХреБрд▓реЗрдЯрд░](/media/images/integral_calculator.webp)
рдЧрдгрд┐рддреАрдп рд╡рд┐рд╢реНрд▓реЗрд╖рдг рдореЗрдВ, рдЗрдВрдЯреАрдЧреНрд░рд▓ рдХрд╛ рд╡реНрдпрд╛рдкрдХ рд░реВрдк рд╕реЗ рдЙрдкрдпреЛрдЧ рдХрд┐рдпрд╛ рдЬрд╛рддрд╛ рд╣реИ - рдХрд┐рд╕реА рдпреЛрдЧ рдХрд╛ рдПрдХ рд╕рддрдд рдПрдирд╛рд▓реЙрдЧ, рдЬреЛ рдХреНрд╖реЗрддреНрд░реЛрдВ, рдЖрдпрддрдиреЛрдВ, рджреНрд░рд╡реНрдпрдорд╛рдиреЛрдВ, рджреВрд░рд┐рдпреЛрдВ рдФрд░ рдЕрдиреНрдп рдЧреИрд░-рд╕реНрдерд┐рд░ (рдкрд░рд┐рд╡рд░реНрддрдиреАрдп) рдорд╛рддреНрд░рд╛рдУрдВ рдХреА рдЧрдгрдирд╛ рдХреЗ рд▓рд┐рдП рд▓рд╛рдЧреВ рд╣реЛрддрд╛ рд╣реИред
рдЙрджрд╛рд╣рд░рдг рдХреЗ рд▓рд┐рдП, рдПрдХ рд╡рд╛рд╣рди рдХреА рдЧрддрд┐, рдЬреЛ рдЪрд▓рддреЗ рд╕рдордп рдХрдИ рдмрд╛рд░ рдмрджрд▓ рд╕рдХрддреА рд╣реИ, рдпрд╛ рдПрдХ рдкреНрд░реЛрд╕реЗрд╕рд░ рдХреА рдЖрд╡реГрддреНрддрд┐, рдЬреЛ рдирд┐рд╖реНрдкрд╛рджрд┐рдд рдХрдореНрдкреНрдпреВрдЯреЗрд╢рдирд▓ рдкреНрд░рдХреНрд░рд┐рдпрд╛рдУрдВ рдХреЗ рдЕрдиреБрдХреВрд▓ рд╣реЛрддреА рд╣реИред рдЗрди рдорд╛рддреНрд░рд╛рдУрдВ рдХреЛ рдПрдХ рдирд┐рд╢реНрдЪрд┐рдд рдореВрд▓реНрдп рдХреЗ рд░реВрдк рдореЗрдВ рд╡рд░реНрдгрд┐рдд рдХрд░рдирд╛ рдЕрд╕рдВрднрд╡ рд╣реИ, рдХреНрдпреЛрдВрдХрд┐ рд╡реЗ рд▓рдЧрд╛рддрд╛рд░ рдиреНрдпреВрдирддрдо рд╕реЗ рдЕрдзрд┐рдХрддрдо рддрдХ рдХреА рд╕реАрдорд╛ рдореЗрдВ рдмрджрд▓рддреЗ рд░рд╣рддреЗ рд╣реИрдВ, рд▓реЗрдХрд┐рди рдПрдХ рдЕрднрд┐рдиреНрди рдХрд╛ рдЙрдкрдпреЛрдЧ рдХрд░рдХреЗ рдЗрд╕реЗ рдЖрд╕рд╛рдиреА рд╕реЗ рдХрд┐рдпрд╛ рдЬрд╛ рд╕рдХрддрд╛ рд╣реИред
рдЗрд╕ рдкрд░ рдирд┐рд░реНрднрд░ рдХрд░рддреЗ рд╣реБрдП рдХрд┐ рдорд╛рдкреА рдЧрдИ рдорд╛рддреНрд░рд╛ рдХреА рдирд┐рд╢реНрдЪрд┐рдд рд╕реАрдорд╛рдПрдБ рд╣реИрдВ, рдПрдХ рдирд┐рд╢реНрдЪрд┐рдд рдФрд░ рдЕрдирд┐рд╢реНрдЪрд┐рдд рдЕрднрд┐рдиреНрди рдХреЛ рдкреНрд░рддрд┐рд╖реНрдард┐рдд рдХрд┐рдпрд╛ рдЬрд╛рддрд╛ рд╣реИред рдкрд╣рд▓реЗ рдХреЗ рдкрд╛рд╕ рд╡реЗ рд╣реИрдВ, рд▓реЗрдХрд┐рди рджреВрд╕рд░реЗ рдХреЗ рдкрд╛рд╕ рдирд╣реАрдВред рдПрдХреАрдХрд░рдг рдХрд╛ рд╕рд╛рд░ рд╡рд╣реА рд░рд╣рддрд╛ рд╣реИред
рд╕рд░рд▓ рд╢рдмреНрджреЛрдВ рдореЗрдВ, рдпрд╣ рдХрдИ рдкрджреЛрдВ рдХреЗ рдЧреБрдгрди рдХреА рд╕рдВрдХреНрд░рд┐рдпрд╛рдУрдВ рдХрд╛ рдПрдХ рд╕реЗрдЯ рд╣реИ, рдЬрд┐рд╕рдХреЗ рдмрд╛рдж рдЙрдирдХрд╛ рдпреЛрдЧ рд╣реЛрддрд╛ рд╣реИ, рдпрд╛ рдЕрдирдВрдд рд╕рдВрдЦреНрдпрд╛ рдореЗрдВ рдЧреБрдгрди рдХрд╛ рдпреЛрдЧ, рдЬреЛ рдХрд┐ рдмрд╣реБрдд рд╣реА рдЫреЛрдЯреЗ рд╢рдмреНрджреЛрдВ рдХреЗ рд╕рд╛рде рдХрд┐рдпрд╛ рдЬрд╛рддрд╛ рд╣реИред рдЖрдЬ рдПрдХреАрдХрд░рдг рдХрд╛ рд╡реНрдпрд╛рдкрдХ рд░реВрдк рд╕реЗ рдЙрдкрдпреЛрдЧ рдХрд┐рдпрд╛ рдЬрд╛рддрд╛ рд╣реИ:
- рдЬрдЯрд┐рд▓ рдЬреНрдпрд╛рдорд┐рддреАрдп рдЖрдХреГрддрд┐рдпреЛрдВ рдХреЗ рдХреНрд╖реЗрддреНрд░реЛрдВ рдХрд╛ рдкрддрд╛ рд▓рдЧрд╛рдирд╛ рдЬрд┐рдирдХреЗ рд▓рд┐рдП S = a × b рдпрд╛ S = π × r² рдЬреИрд╕реЗ рд╡рд┐рд╢рд┐рд╖реНрдЯ рд╕реВрддреНрд░ рдкреНрд░рд╛рдкреНрдд рдХрд░рдирд╛ рдЕрд╕рдВрднрд╡ рд╣реИред
- рдЕрд╕рдорд╛рди рдШрдирддреНрд╡ рд╡рд╛рд▓реЗ рдкрд┐рдВрдбреЛрдВ рдХреЗ рджреНрд░рд╡реНрдпрдорд╛рди рдХреА рдЧрдгрдирд╛ред
- рдЕрд▓рдЧ-рдЕрд▓рдЧ рдЧрддрд┐ рд╕реЗ рддрдп рдХреА рдЧрдИ рджреВрд░рд┐рдпреЛрдВ рдХрд╛ рдирд┐рд░реНрдзрд╛рд░рдгред
рдЧрдгрд┐рдд (рдФрд░ рдЕрдиреНрдп рд╡рд┐рдЬреНрдЮрд╛рдиреЛрдВ) рдореЗрдВ, рдПрдХ рдЕрднрд┐рдиреНрди рдЕрдВрдЧ рдХреЛ рдПрдХ рд▓рдВрдмреЗ рдЕрдХреНрд╖рд░ ∫ рджреНрд╡рд╛рд░рд╛ рджрд░реНрд╢рд╛рдпрд╛ рдЬрд╛рддрд╛ рд╣реИ, рдЬреЛ рд▓реИрдЯрд┐рди рдПрд╕ (рд╕реБрдореНрдорд╛) рд╕реЗ рд▓рд┐рдпрд╛ рдЧрдпрд╛ рд╣реИред рд╕рдВрдХреНрд╖реЗрдк рдореЗрдВ, рдПрдХ рдЕрднрд┐рдиреНрди рдЕрдиреЗрдХ рдЧреБрдгрд┐рдд рдкрджреЛрдВ рдХрд╛ рдпреЛрдЧ рд╣реИред рдЗрд╕рдХреЗ рдЕрд▓рд╛рд╡рд╛, рдкрд░рд┐рдорд┐рдд рдФрд░ рдЕрдирдВрдд рджреЛрдиреЛрдВ рдорд╛рддреНрд░рд╛рдУрдВ рдХреЗ рд╕рдВрдмрдВрдз рдореЗрдВ рдЖрджрд░реНрд╢ рдПрдХреАрдХрд░рдг (рддреНрд░реБрдЯрд┐рдпреЛрдВ рдХреЗ рдмрд┐рдирд╛) рдХрд┐рдпрд╛ рдЬрд╛ рд╕рдХрддрд╛ рд╣реИред
рдЗрдВрдЯреАрдЧреНрд░рд▓ рдХреИрд▓рдХреБрд▓рд╕ рдХрд╛ рдЗрддрд┐рд╣рд╛рд╕
рд╣рд╛рд▓рд╛рдБрдХрд┐ "рдЕрднрд┐рдиреНрди" рдХреА рдЕрд╡рдзрд╛рд░рдгрд╛ рдЕрднреА рддрдХ рдЕрд╕реНрддрд┐рддреНрд╡ рдореЗрдВ рдирд╣реАрдВ рдереА, рдЗрд╕рдХреЗ рд╕рд┐рджреНрдзрд╛рдВрдд рдХрд╛ рдЙрдкрдпреЛрдЧ рдкреНрд░рд╛рдЪреАрди рдЧреНрд░реАрд╕ рдореЗрдВ рд╢реБрд░реВ рд╣реБрдЖ рдерд╛ред рдЗрд╕ рдкреНрд░рдХрд╛рд░, рдЖрд░реНрдХрд┐рдорд┐рдбреАрдЬрд╝ рдиреЗ рд╡реГрддреНрддреЛрдВ рдХрд╛ рдХреНрд╖реЗрддреНрд░рдлрд▓ рдЬреНрдЮрд╛рдд рдХрд░рдиреЗ рдХреЗ рд▓рд┐рдП рдПрдХ рдРрд╕реА рд╡рд┐рдзрд┐ рдХрд╛ рдЙрдкрдпреЛрдЧ рдХрд┐рдпрд╛ рдЬреЛ рдЖрдзреБрдирд┐рдХ рдПрдХреАрдХрд░рдг, рдЕрд░реНрдерд╛рддреН рдердХрд╛рд╡рдЯ рд╡рд┐рдзрд┐ рдХреЗ рдЬрд┐рддрдирд╛ рдХрд░реАрдм рд╣реЛ рд╕рдХреЗред
рдЗрд╕рдореЗрдВ рдЕрдиреНрдп рдЖрдХреГрддрд┐рдпреЛрдВ рдХреЗ рдЕрдиреБрдХреНрд░рдо рдХреЛ рдПрдХ рдирд┐рдпрдорд┐рдд рд╡реГрддреНрдд рдореЗрдВ рдлрд┐рдЯ рдХрд░рдирд╛, рдЙрд╕рдХреЗ рдмрд╛рдж рдЙрдирдХреЗ рдХреНрд╖реЗрддреНрд░реЛрдВ рдХреА рд╕реАрдорд╛ рдирд┐рд░реНрдзрд╛рд░рд┐рдд рдХрд░рдирд╛ рд╢рд╛рдорд┐рд▓ рдерд╛ред рдЗрди рдЧрдгрдирд╛рдУрдВ рдХрд╛ рд╕реАрдзрд╛ рд╕рд╛рджреГрд╢реНрдп рдПрдХреАрдХрд░рдг рдХрд╛ рдЙрдкрдпреЛрдЧ рдХрд░рдХреЗ рдЕрдирдВрдд рд░рд╛рд╢рд┐ рдХреА рд╕реАрдорд╛ рдЬреНрдЮрд╛рдд рдХрд░рдирд╛ рд╣реИред
рдкреНрд░рд╛рд░рдВрдн рдореЗрдВ, рдЗрд╕ рдкрджреНрдзрддрд┐ рдХрд╛ рдЙрдкрдпреЛрдЧ рдХреЗрд╡рд▓ рдЬреНрдпрд╛рдорд┐рддрд┐ рдореЗрдВ рдХрд┐рдпрд╛ рдЬрд╛рддрд╛ рдерд╛, рд▓реЗрдХрд┐рди рдлрд┐рд░ рдпрд╛рдВрддреНрд░рд┐рдХреА, рдЕрд░реНрдерд╢рд╛рд╕реНрддреНрд░, рдЦрдЧреЛрд▓ рд╡рд┐рдЬреНрдЮрд╛рди рдФрд░ рдЕрдиреНрдп рд╡рд┐рдЬреНрдЮрд╛рдиреЛрдВ рдореЗрдВ рдЗрд╕рдХрд╛ рдЙрдкрдпреЛрдЧ рдкрд╛рдпрд╛ рдЧрдпрд╛ред рдФрд░ рдЗрд╕рдХрд╛ рдЖрдзреБрдирд┐рдХ рдирд╛рдо, "рдПрдХреАрдХрд░рдг", рдХреЗрд╡рд▓ 17рд╡реАрдВ рд╢рддрд╛рдмреНрджреА рдореЗрдВ рдЙрддреНрдкрдиреНрди рд╣реБрдЖ: рдпреВрд░реЛрдкреАрдп рд╡реИрдЬреНрдЮрд╛рдирд┐рдХреЛрдВ рдЖрдЗрдЬреИрдХ рдиреНрдпреВрдЯрди рдФрд░ рдЧреЙрдЯрдлреНрд░рд╛рдЗрдб рд╡рд┐рд▓реНрд╣реЗрдо рд▓рд╛рдЗрдмрдирд┐рдЬрд╝ рдХреЗ рд╢реЛрдз рдХреЗ рджреМрд░рд╛рдиред рдЗрдВрдЯреАрдЧреНрд░рд▓ рдХрд╛ рдЙрдкрдпреЛрдЧ рдбрд┐рдлрд░реЗрдВрд╢рд┐рдпрд▓ рдХреИрд▓рдХреБрд▓рд╕ рд╕рд┐рд╕реНрдЯрдо рдореЗрдВ рдХрд┐рдпрд╛ рдЬрд╛рдиреЗ рд▓рдЧрд╛ рдФрд░ рдЗрд╕реЗ рдПрдХ рд╕реНрдкрд╖реНрдЯ рдЧрдгрд┐рддреАрдп рдкрд░рд┐рднрд╛рд╖рд╛ рдкреНрд░рд╛рдкреНрдд рд╣реБрдИ - "рдПрдХ рдлрд╝рдВрдХреНрд╢рди рдХрд╛ рдПрдВрдЯреАрдбреЗрд░рд┐рд╡реЗрдЯрд┐рд╡ред"
рд╕рд░рд▓ рд╢рдмреНрджреЛрдВ рдореЗрдВ, рдЬреНрдпрд╛рдорд┐рддрд┐ рдореЗрдВ рдПрдХ рдЕрднрд┐рдиреНрди рдЕрдВрдЧ рдПрдХ рд╡рдХреНрд░рд░реЗрдЦреАрдп рдЖрдХреГрддрд┐ рдХрд╛ рдХреНрд╖реЗрддреНрд░ рд╣реИред рдЕрдирд┐рд╢реНрдЪрд┐рддрдХрд╛рд▓реАрди рдЕрднрд┐рдиреНрди рд╕рдВрдкреВрд░реНрдг рдХреНрд╖реЗрддреНрд░ рд╣реИ, рдФрд░ рдирд┐рд╢реНрдЪрд┐рдд рдЕрднрд┐рдиреНрди рдХрд┐рд╕реА рджрд┐рдП рдЧрдП рдХреНрд╖реЗрддреНрд░ рдХрд╛ рдХреНрд╖реЗрддреНрд░ рд╣реИред рддрджрдиреБрд╕рд╛рд░, рдЕрд╡рдХрд▓рдЬ рдХреЛ рдЦреЛрдЬрдиреЗ рдХреА рдкреНрд░рдХреНрд░рд┐рдпрд╛ рдХреЛ рд╡рд┐рднреЗрджрди рдХрд╣рд╛ рдЬрд╛рддрд╛ рд╣реИ, рдФрд░ рдкреНрд░рддрд┐рдЕрд╡рдХрд▓рди рдХреЛ рдЦреЛрдЬрдиреЗ рдХреЛ рдПрдХреАрдХрд░рдг рдХрд╣рд╛ рдЬрд╛рддрд╛ рд╣реИред
рдХрд╛рд░реНрдпреЛрдВ рдХреЛ рдПрдХреАрдХреГрдд рдХрд░рдиреЗ рдХреЗ рдирд┐рдпрдо
рдЗрдВрдЯреАрдЧреНрд░рд▓реНрд╕ рдХреЗ рд╕рд╛рде рдХрд╛рдо рдХрд░рддреЗ рд╕рдордп, рдЖрдк рдкрд░рд┐рд╡рд░реНрддрди рд╕реВрддреНрд░реЛрдВ рдХрд╛ рдЙрдкрдпреЛрдЧ рдХрд░ рд╕рдХрддреЗ рд╣реИрдВ, рдмрд╢рд░реНрддреЗ рдХрд┐ рд╡реЗ рд╕реНрдерд┐рд░рд╛рдВрдХ рд╕реА рдХрд╛ рдЙрдкрдпреЛрдЧ рдХрд░реЗрдВред рдпрд╣ рдирд┐рд░реНрдзрд╛рд░рд┐рдд рдХрд┐рдпрд╛ рдЬрд╛рддрд╛ рд╣реИ рдХрд┐ рдХрд┐рд╕реА рд╡рд┐рд╢рд┐рд╖реНрдЯ (рдордирдорд╛рдиреЗ рдврдВрдЧ рд╕реЗ рд▓рд┐рдП рдЧрдП) рдмрд┐рдВрджреБ рдкрд░ рдЗрдВрдЯреАрдЧреНрд░рд▓ рдХрд╛ рдорд╛рди рдЬреНрдЮрд╛рдд рд╣реИред
рдЪреВрдВрдХрд┐ рдкреНрд░рддреНрдпреЗрдХ рдлрд╝рдВрдХреНрд╢рди рдореЗрдВ рдЕрдирдВрдд рд╕рдВрдЦреНрдпрд╛ рдореЗрдВ рдПрдВрдЯреАрдбреЗрд░рд┐рд╡реЗрдЯрд┐рд╡ рд╣реЛрддреЗ рд╣реИрдВ, C рдХрд╛ рдорд╛рди рдЬрд╛рдирдХрд░, рдЖрдк рдирд┐рдореНрдирд▓рд┐рдЦрд┐рдд рддрд░реАрдХреЛрдВ рд╕реЗ рдЕрднрд┐рдиреНрди рд╕реВрддреНрд░реЛрдВ рдХреЛ рдмрджрд▓ рд╕рдХрддреЗ рд╣реИрдВ:
- ∫╨бf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
рд▓рдШреБрдЧрдгрдХ рдФрд░ рдШрд╛рддреАрдп рдХрд╛рд░реНрдпреЛрдВ рдХреЗ рд╕рдорд╛рдХрд▓рди рдХреЛ рднреА рд░реВрдкрд╛рдВрддрд░рд┐рдд рдХрд┐рдпрд╛ рдЬрд╛ рд╕рдХрддрд╛ рд╣реИ:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + рд╕реА.
- ∫logтВРxdx = xlogтВРx − x logтВРe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eтБ┐dx = eтБ┐ + C.
- ∫aтБ┐dx = aтБ┐/lna + C.
рддреНрд░рд┐рдХреЛрдгрдорд┐рддрд┐ рдореЗрдВ, рдЕрднрд┐рдиреНрдиреЛрдВ рдХреЛ рдмрджрд▓рдиреЗ рдХреЗ рд▓рд┐рдП рдХрдо рд╕реЗ рдХрдо 15 рд╕реВрддреНрд░реЛрдВ рдХрд╛ рдЙрдкрдпреЛрдЧ рдХрд┐рдпрд╛ рдЬрд╛рддрд╛ рд╣реИ, рдЬрд┐рдирдореЗрдВ рд╕реЗ рд╕рдмрд╕реЗ рд╕рд░рд▓ рд╣реИрдВ:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = synx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + рд╕реА.
рд╕реЗрдХреЗрдВрдЯ, рдХреЛрд╕реЗрдХреЗрдВрдЯ, рдЖрд░реНрдХрдЯреЗрдВрдЬреЗрдВрдЯ рдЖрджрд┐ рдХреЗ рд▓рд┐рдП рд╕рдорд╛рди рд╕реВрддреНрд░ рдореМрдЬреВрдж рд╣реИрдВред рдХреЗрд╡рд▓ рдПрдХ рдХрдВрдкреНрдпреВрдЯрд░, рдпрд╛ рдПрдХреАрдХрд░рдг рдлрд╝рдВрдХреНрд╢рди рд╡рд╛рд▓рд╛ рдПрдХ рд╡рд┐рд╢реЗрд╖ рдПрдкреНрд▓рд┐рдХреЗрд╢рди рд╣реА рдЙрдирдХреА рд╢реАрдШреНрд░рддрд╛ рд╕реЗ рдЧрдгрдирд╛ рдХрд░ рд╕рдХрддрд╛ рд╣реИ (рд╡реЗрд░рд┐рдПрдмрд▓реНрд╕ рдХреЛ рдкреНрд░рддрд┐рд╕реНрдерд╛рдкрд┐рдд рдХрд░рдиреЗ рдХреЗ рдмрд╛рдж)ред
рдХрд┐рд╕реА рдирд┐рд╢реНрдЪрд┐рдд рдпрд╛ рдЕрдирд┐рд╢реНрдЪрд┐рдд рд╕рдорд╛рдХрд▓рди, рдпрд╛ рдХрд┐рд╕реА рдлрд╝рдВрдХреНрд╢рди рдХреЗ рдкреНрд░рддрд┐рдЕрд╡рдХрд▓рди рдХреА рддреБрд░рдВрдд рдЧрдгрдирд╛ рдХрд░рдиреЗ рдХреЗ рд▓рд┐рдП, рд╣рдорд╛рд░реЗ рдХреИрд▓рдХреБрд▓реЗрдЯрд░ рдХрд╛ рдЙрдкрдпреЛрдЧ рдХрд░реЗрдВред рдЗрд╕рдореЗрдВ рд╕рдВрдЦреНрдпрд╛рддреНрдордХ рдорд╛рдиреЛрдВ рдХреЛ рдкреНрд░рддрд┐рд╕реНрдерд╛рдкрд┐рдд рдХрд░рдирд╛ рдФрд░ рдЧрдгрдирд╛ рдорд╛рдкрджрдВрдбреЛрдВ рдХрд╛ рдЪрдпрди рдХрд░рдирд╛ рдкрд░реНрдпрд╛рдкреНрдд рд╣реИред рдкрд░рд┐рдгрд╛рдо рдХреБрдЫ рд╣реА рд╕реЗрдХрдВрдб рдореЗрдВ рд╕реНрдХреНрд░реАрди рдкрд░ рдкреНрд░рджрд░реНрд╢рд┐рдд рд╣реЛ рдЬрд╛рдПрдЧрд╛, рдЬреЛ рдЖрдкрдХреЛ рд▓рдВрдмреА рдФрд░ рдЬрдЯрд┐рд▓ рдЧрдгрдирд╛ рдХрд░рдиреЗ рдХреА рдЖрд╡рд╢реНрдпрдХрддрд╛ рд╕реЗ рдмрдЪрд╛рдПрдЧрд╛ред