Integralni kalkulator
![Integralni kalkulator](/media/images/integral_calculator.webp)
U matematičkoj analizi, integral se široko koristi - kontinuirani analog zbroja, primjenjiv za izračunavanje površina, volumena, masa, udaljenosti i drugih nekonstantnih (promjenjivih) veličina.
Na primjer, brzina vozila, koja se može promijeniti mnogo puta tijekom kretanja, ili frekvencija procesora, koja se prilagođava računskim procesima koji se izvode. Nemoguće je te veličine opisati kao fiksnu vrijednost, budući da se stalno mijenjaju u rasponu od minimuma do maksimuma, ali to se lako može učiniti pomoću integrala.
Ovisno o tome ima li mjerena veličina fiksne granice, razlikuju se određeni i neodređeni integral. Prvi ih ima, ali drugi nema. Bit integracije ostaje ista.
Pojednostavljeno rečeno, ovo je skup operacija množenja nekoliko članova s njihovim naknadnim zbrajanjem ili zbroj beskonačnog broja množenja izvedenih s infinitezimalnim članovima. Današnja integracija se široko koristi za:
- Pronalaženje područja složenih geometrijskih figura za koje je nemoguće izvesti određenu formulu poput S = a × b ili S = π × r².
- Izračunavanje masa tijela nejednake gustoće.
- Određivanje udaljenosti prijeđenih različitim brzinama.
U matematici (i drugim znanostima), integral se označava izduženim slovom ∫, izvedenim iz latinskog S (summa). U biti, integral je zbroj mnogih umnoženih članova. Štoviše, idealna integracija (bez pogrešaka) može se provesti u odnosu na konačne i beskonačne količine.
Povijest integralnog računa
Iako sam koncept "integrala" još nije postojao, njegovo se načelo počelo koristiti još u staroj Grčkoj. Tako je Arhimed koristio da pronađe površinu krugova metodom koja je bila što bliža modernoj integraciji, naime metodom iscrpljivanja.
Sastojalo se od uklapanja niza drugih figura u pravilan krug, nakon čega je slijedilo određivanje granice njihovih površina. Izravna analogija ovim izračunima je pronalaženje granice beskonačnog zbroja pomoću integracije.
U početku se metoda koristila samo u geometriji, ali je potom našla primjenu u mehanici, ekonomiji, astronomiji i drugim znanostima. A njegovo moderno ime, "integracija", pojavilo se tek u 17. stoljeću: tijekom istraživanja europskih znanstvenika Isaaca Newtona i Gottfrieda Wilhelma Leibniza. Integral se počeo koristiti u sustavima diferencijalnog računa i dobio je jasnu matematičku definiciju - "antiderivacija funkcije".
Jednostavno rečeno, integral u geometriji je površina krivocrtne figure. Neodređeni integral je cijela površina, a određeni integral je površina u određenom području. U skladu s tim, proces pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija, a pronalaženje antiderivacije integracija.
Pravila za integriranje funkcija
Kada radite s integralima, možete koristiti formule transformacije, pod uvjetom da koriste konstantu C. Određuje se je li poznata vrijednost integrala u određenoj (proizvoljno uzetoj) točki.
Budući da svaka funkcija ima beskonačan broj antiderivacija, znajući vrijednost C, možete transformirati integralne formule na sljedeće načine:
- ∫Sf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Integrali logaritamskih i eksponencijalnih funkcija također se mogu transformirati:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
U trigonometriji se koristi najmanje 15 formula za transformaciju integrala, od kojih su najjednostavnije:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
Slične formule postoje za sekante, kosekanse, arktangense i tako dalje. Samo ih računalo, odnosno posebna aplikacija s integracijskom funkcijom, može brzo izračunati (nakon zamjene varijabli).
Za brzi izračun određenog ili neodređenog integrala ili antiderivacije funkcije koristite naš kalkulator. Dovoljno je zamijeniti numeričke vrijednosti u njega i odabrati parametre izračuna. Rezultat će biti prikazan na zaslonu u djeliću sekunde, što će vas spasiti od potrebe za provođenjem dugih i složenih izračuna.