Integrált számológép
![Integrált számológép](/media/images/integral_calculator.webp)
A matematikai elemzésben széles körben használják az integrált – egy összeg folytonos analógját, amely területek, térfogatok, tömegek, távolságok és egyéb nem állandó (változható) mennyiségek kiszámítására használható.
Például egy jármű sebessége, amely sokszor változhat mozgás közben, vagy egy processzor frekvenciája, amely alkalmazkodik a végrehajtott számítási folyamatokhoz. Ezeket a mennyiségeket nem lehet fix értékként leírni, mivel folyamatosan változnak a minimumtól a maximumig terjedő tartományban, de ez egy integrál segítségével egyszerűen megtehető.
Attól függően, hogy a mért mennyiségnek van-e fix határértéke, megkülönböztetünk egy határozott és határozatlan integrált. Az elsőben vannak, de a másodikban nem. Az integráció lényege változatlan.
Egyszerűen fogalmazva, ez több tag szorzásának műveleteinek halmaza, majd összegzésével, vagy végtelen számú, végtelen kicsi tagokkal végrehajtott szorzás összege. Manapság az integrációt széles körben használják:
- Az összetett geometriai alakzatok azon területeinek megkeresése, amelyekre nem lehet konkrét képletet származtatni, például S = a × b vagy S = π × r².
- Egyenetlen sűrűségű testek tömegének kiszámítása.
- Változó sebességgel megtett távolságok meghatározása.
A matematikában (és más tudományokban) az integrált egy hosszúkás ∫ betű jelöli, amely a latin S-ből (summa) származik. Lényegében az integrál sok szorzott tag összege. Sőt, az ideális integráció (hibák nélkül) elvégezhető véges és végtelen mennyiségekre is.
Az integrálszámítás története
Bár maga az „integrál” fogalma még nem létezett, elvét már az ókori Görögországban kezdték használni. Arkhimédész tehát a körök területén egy olyan módszert talált, amely a lehető legközelebb állt a modern integrációhoz, nevezetesen a kimerülési módszert.
Ez abból állt, hogy egy szabályos körbe más figurák sorozatát illesztettük, majd meghatároztuk a területük határát. A számítások közvetlen analógiája egy végtelen összeg határának meghatározása integráció segítségével.
A módszert kezdetben csak a geometriában használták, de aztán a mechanikában, a közgazdaságtanban, a csillagászatban és más tudományokban is alkalmazták. Modern neve, az „integráció” pedig csak a 17. században merült fel: Isaac Newton és Gottfried Wilhelm Leibniz európai tudósok kutatásai során. Az integrált differenciálszámítási rendszerekben kezdték használni, és egyértelmű matematikai definíciót kapott - „egy függvény antiderivatívája”.
Egyszerűen fogalmazva, a geometriában az integrál egy görbe vonalú alakzat területe. A határozatlan integrál a teljes terület, a határozott integrál pedig az adott területen lévő terület. Ennek megfelelően a derivált megtalálásának folyamatát differenciálásnak, az antiderivált megtalálásának folyamatát pedig integrációnak nevezzük.
A függvények integrálásának szabályai
Ha integrálokkal dolgozik, használhat transzformációs képleteket, feltéve, hogy ezek a C állandót használják. Meghatározható, hogy egy adott (tetszőlegesen felvett) pontban ismert-e az integrál értéke.
Mivel minden függvénynek végtelen számú antideriváltja van, a C értékének ismeretében az integrál képleteket a következő módokon alakíthatja át:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
A logaritmikus és exponenciális függvények integráljai is átalakíthatók:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
A trigonometriában legalább 15 képletet használnak az integrálok átalakítására, amelyek közül a legegyszerűbbek:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
Hasonló képletek léteznek a szekánsokhoz, koszekánsokhoz, arctangensekhez és így tovább. Csak egy számítógép, vagy inkább egy speciális, integrációs funkcióval rendelkező alkalmazás tudja ezeket gyorsan (változók helyettesítése után) kiszámolni.
Ha gyorsan szeretne kiszámítani egy határozott vagy határozatlan integrált, vagy egy függvény antideriváltját, használja számológépünket. Elegendő számértékeket helyettesíteni benne, és kiválasztani a számítási paramétereket. Az eredmény a másodperc töredéke alatt megjelenik a képernyőn, ami megkíméli Önt a hosszú és összetett számítások elvégzésétől.