Kalkulator integral
![Kalkulator integral](/media/images/integral_calculator.webp)
Dalam analisis matematis, integral banyak digunakan - analogi kontinu dari suatu penjumlahan, yang dapat diterapkan untuk menghitung luas, volume, massa, jarak, dan besaran tidak konstan (dapat diubah) lainnya.
Misalnya, kecepatan kendaraan yang dapat berubah berkali-kali saat bergerak, atau frekuensi prosesor yang menyesuaikan dengan proses komputasi yang dilakukan. Besaran ini tidak mungkin digambarkan sebagai nilai tetap, karena besaran tersebut terus berubah dalam rentang dari minimum hingga maksimum, namun hal ini dapat dengan mudah dilakukan dengan menggunakan integral.
Bergantung pada apakah besaran yang diukur mempunyai batas tetap, integral tertentu dan integral tak tentu dibedakan. Yang pertama memilikinya, tetapi yang kedua tidak. Inti dari integrasi tetap sama.
Secara sederhana, ini adalah himpunan operasi perkalian beberapa suku dengan penjumlahan berikutnya, atau penjumlahan dari perkalian yang jumlahnya tak terhingga yang dilakukan dengan suku-suku yang sangat kecil. Saat ini integrasi banyak digunakan untuk:
- Mencari luas bangun geometri kompleks yang rumus spesifiknya seperti S = a × b atau S = π × r² tidak mungkin diperoleh.
- Penghitungan massa benda dengan kepadatan tidak merata.
- Penentuan jarak yang ditempuh dengan kecepatan yang bervariasi.
Dalam matematika (dan ilmu pengetahuan lainnya), integral dilambangkan dengan huruf memanjang ∫, berasal dari bahasa Latin S (summa). Pada hakikatnya integral adalah penjumlahan dari banyak suku yang dikalikan. Selain itu, integrasi ideal (tanpa kesalahan) dapat dilakukan terhadap besaran berhingga dan tak terhingga.
Sejarah kalkulus integral
Meskipun konsep "integral" belum ada, prinsipnya mulai digunakan di Yunani Kuno. Oleh karena itu, Archimedes biasa mencari luas lingkaran dengan metode yang sedekat mungkin dengan integrasi modern, yaitu metode kelelahan.
Terdiri dari memasukkan rangkaian bangun-bangun lain ke dalam lingkaran beraturan, diikuti dengan menentukan batas luas bangun-bangun tersebut. Analogi langsung dari penghitungan ini adalah mencari limit jumlah tak terhingga menggunakan integrasi.
Awalnya, metode ini hanya digunakan dalam geometri, tetapi kemudian diterapkan dalam bidang mekanika, ekonomi, astronomi, dan ilmu pengetahuan lainnya. Dan nama modernnya, “integrasi”, baru muncul pada abad ke-17: selama penelitian ilmuwan Eropa Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz. Integral mulai digunakan dalam sistem kalkulus diferensial, dan menerima definisi matematis yang jelas - “antiturunan suatu fungsi”.
Secara sederhana, integral dalam geometri adalah luas bangun lengkung. Integral tak tentu adalah luas keseluruhan, dan integral tentu adalah luas suatu luas tertentu. Oleh karena itu, proses mencari turunan disebut diferensiasi, dan mencari antiturunan disebut integrasi.
Aturan untuk mengintegrasikan fungsi
Saat mengerjakan integral, Anda dapat menggunakan rumus transformasi, asalkan menggunakan konstanta C. Hal ini ditentukan jika nilai integral pada titik tertentu (diambil secara acak) diketahui.
Karena setiap fungsi memiliki jumlah antiturunan yang tak terhingga, dengan mengetahui nilai C, Anda dapat mengubah rumus integral dengan cara berikut:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Integral fungsi logaritma dan eksponensial juga dapat diubah:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
Dalam trigonometri setidaknya digunakan 15 rumus transformasi integral, yang paling sederhana adalah:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
Rumus serupa juga terdapat untuk garis potong, kosekan, tangen busur, dan sebagainya. Hanya komputer, atau lebih tepatnya aplikasi khusus dengan fungsi integrasi, yang dapat menghitungnya dengan cepat (setelah mengganti variabel).
Untuk menghitung dengan cepat integral tertentu atau tak tentu, atau antiturunan suatu fungsi, gunakan kalkulator kami. Cukup dengan mengganti nilai numerik ke dalamnya dan memilih parameter perhitungan. Hasilnya akan ditampilkan di layar dalam sepersekian detik, sehingga Anda tidak perlu melakukan penghitungan yang panjang dan rumit.