Calcolatrice per integrali
Nell'analisi matematica, l'integrale è ampiamente utilizzato: un analogo continuo di una somma, applicabile per il calcolo di aree, volumi, masse, distanze e altre quantità non costanti (modificabili).
Ad esempio, la velocità di un veicolo, che può cambiare molte volte durante lo spostamento, o la frequenza di un processore, che si adatta ai processi computazionali eseguiti. È impossibile descrivere queste quantità come un valore fisso, poiché cambiano costantemente nell'intervallo dal minimo al massimo, ma ciò può essere fatto facilmente utilizzando un integrale.
A seconda che la quantità misurata abbia limiti fissi, si distingue un integrale definito e indefinito. Il primo li ha, ma il secondo no. L'essenza dell'integrazione rimane la stessa.
In termini semplici, si tratta di un insieme di operazioni di moltiplicazione di più termini con la loro successiva somma, oppure la somma di un numero infinito di moltiplicazioni eseguite con termini infinitesimi. Oggi l'integrazione è ampiamente utilizzata per:
- Trovare le aree di figure geometriche complesse per le quali è impossibile derivare una formula specifica come S = a × b o S = π × r².
- Calcolo delle masse di corpi con densità irregolare.
- Determinazione delle distanze percorse a velocità variabili.
In matematica (e in altre scienze), un integrale è denotato da una lettera allungata ∫, derivata dal latino S (summa). In sostanza, un integrale è la somma di molti termini moltiplicati. Inoltre, l'integrazione ideale (senza errori) può essere eseguita in relazione sia a quantità finite che infinite.
Storia del calcolo integrale
Sebbene il concetto stesso di "integrale" non esistesse ancora, il suo principio cominciò ad essere utilizzato già nell'antica Grecia. Pertanto, Archimede trovava nell'area dei cerchi un metodo che fosse il più vicino possibile all'integrazione moderna, vale a dire il metodo di esaurimento.
Consisteva nell'inserire una sequenza di altre figure in un cerchio regolare, per poi determinare il limite delle loro aree. Un'analogia diretta con questi calcoli è trovare il limite di una somma infinita utilizzando l'integrazione.
Inizialmente il metodo veniva utilizzato solo in geometria, ma poi trovò applicazione nella meccanica, nell'economia, nell'astronomia e in altre scienze. E il suo nome moderno, “integrazione”, è nato solo nel XVII secolo: durante la ricerca degli scienziati europei Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz. L'integrale cominciò ad essere utilizzato nei sistemi di calcolo differenziale e ricevette una chiara definizione matematica: "antiderivativa di una funzione".
In termini semplici, un integrale in geometria è l'area di una figura curvilinea. L'integrale indefinito è l'intera area e l'integrale definito è l'area in una data area. Di conseguenza, il processo per trovare la derivata è chiamato differenziazione e trovare l'antiderivativa è chiamato integrazione.
Regole per l'integrazione delle funzioni
Quando si lavora con gli integrali, è possibile utilizzare formule di trasformazione, a condizione che utilizzino la costante C. Viene determinata se il valore dell'integrale in un punto specifico (preso arbitrariamente) è noto.
Poiché ogni funzione ha un numero infinito di antiderivative, conoscendo il valore di C, puoi trasformare le formule integrali nei seguenti modi:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Anche gli integrali delle funzioni logaritmiche ed esponenziali possono essere trasformati:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| +C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
In trigonometria vengono utilizzate almeno 15 formule per trasformare gli integrali, le più semplici delle quali sono:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| +C.
Esistono formule simili per secanti, cosecanti, arcotangenti e così via. Solo un computer, o meglio un'applicazione speciale con funzione di integrazione, può calcolarli rapidamente (dopo aver sostituito le variabili).
Per calcolare rapidamente un integrale definito o indefinito o una primitiva di una funzione, utilizza la nostra calcolatrice. È sufficiente sostituirlo con valori numerici e selezionare i parametri di calcolo. Il risultato verrà visualizzato sullo schermo in una frazione di secondo, il che ti eviterà la necessità di eseguire calcoli lunghi e complessi.