積分計算機
![積分計算機](/media/images/integral_calculator.webp)
数学的解析では、積分は広く使用されています。積分は合計の連続的な類似物であり、面積、体積、質量、距離、その他の非定数 (変化しやすい) 量の計算に適用できます。
たとえば、移動中に何度も変化する可能性がある車両の速度や、実行される計算プロセスに適応するプロセッサの周波数などです。 これらの量は最小値から最大値までの範囲で常に変化するため、固定値として記述することは不可能ですが、積分を使用すると簡単に記述できます。
測定量に固定限界があるかどうかに応じて、定積分と不定積分が区別されます。 1 つ目にはそれらがありますが、2 つ目にはありません。 統合の本質は変わりません。
簡単に言えば、これは、いくつかの項の乗算とその後の合計の一連の演算、または無限小の項で実行される無限数の乗算の合計です。 現在、統合は次の目的で広く使用されています。
- S = a × b や S = π × r² などの特定の式を導出することが不可能な複雑な幾何学的図形の領域を見つける
- 密度が不均一な物体の質量の計算
- さまざまな速度での移動距離の決定
数学 (およびその他の科学) では、積分はラテン語の S (合計) に由来する細長い文字 ∫ で表されます。 本質的に、積分は多くの乗算項の合計です。 さらに、理想的な積分 (誤差なし) は、有限量と無限量の両方に関して実行できます。
積分計算の歴史
「積分」という概念自体はまだ存在していませんでしたが、その原理は古代ギリシャに遡って使用され始めました。 したがって、アルキメデスは、現代の積分に可能な限り近い方法、つまり消尽法を使って円の面積を求めていました。
これは、一連の他の図形を正円に当てはめて、その領域の限界を決定することで構成されていました。 これらの計算に直接似ているのは、積分を使用して無限和の極限を求めることです。
当初、この方法は幾何学でのみ使用されていましたが、その後、力学、経済学、天文学、その他の科学にも応用できるようになりました。 そして、その現代的な名前「インテグレーション」は、ヨーロッパの科学者アイザック・ニュートンとゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツの研究中に、17世紀になって初めて生まれました。 積分は微分積分システムで使用され始め、「関数の逆微分」という明確な数学的定義が与えられました。
簡単に言うと、幾何学の積分は曲線の面積です。 不定積分は領域全体、定積分は指定された領域内の面積です。 したがって、微分を見つけるプロセスは微分と呼ばれ、反微分を見つけるプロセスは積分と呼ばれます。
機能を統合するためのルール
積分を扱うときは、定数 C を使用する変換式を使用できます。特定の (任意に取得された) 点における積分の値が既知であるかどうかによって決まります。
各関数には無限の逆微分があるため、C の値がわかれば、次の方法で整数式を変換できます。
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx。
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx。
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
対数関数と指数関数の積分も変換できます。
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| +C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
三角法では、積分を変換するために少なくとも 15 の公式が使用されます。最も単純なものは次のとおりです。
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| +C.
同様の公式がセカント、コセカント、アークタンジェントなどにも存在します。 コンピューター、または統合機能を備えた特別なアプリケーションだけが、(変数を代入した後) それらを迅速に計算できます。
定積分、不定積分、または関数の逆導関数をすばやく計算するには、電卓を使用します。 それに数値を代入し、計算パラメータを選択するだけで十分です。 結果は一瞬で画面に表示されるため、長く複雑な計算を行う必要がなくなります。