ინტეგრალის გამომთვლელი კალკულატორი
![ინტეგრალის გამომთვლელი კალკულატორი](/media/images/integral_calculator.webp)
მათემატიკურ ანალიზში ინტეგრალი ფართოდ გამოიყენება - ჯამის უწყვეტი ანალოგი, რომელიც გამოიყენება ფართობების, მოცულობების, მასების, მანძილების და სხვა არამუდმივი (ცვალებადი) სიდიდეების გამოსათვლელად.
მაგალითად, მანქანის სიჩქარე, რომელიც შეიძლება ბევრჯერ შეიცვალოს მოძრაობისას, ან პროცესორის სიხშირე, რომელიც ადაპტირდება შესრულებულ გამოთვლით პროცესებთან. შეუძლებელია ამ რაოდენობების, როგორც ფიქსირებული მნიშვნელობის აღწერა, რადგან ისინი მუდმივად იცვლებიან დიაპაზონში მინიმალურიდან მაქსიმუმამდე, მაგრამ ეს მარტივად შეიძლება გაკეთდეს ინტეგრალის გამოყენებით.
იმის მიხედვით, აქვს თუ არა გაზომილ სიდიდეს ფიქსირებული ზღვრები, განასხვავებენ განსაზღვრულ და განუსაზღვრელ ინტეგრალს. პირველს აქვს ისინი, მეორეს კი არა. ინტეგრაციის არსი იგივე რჩება.
მარტივი სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის რამდენიმე წევრის გამრავლების მოქმედებების ერთობლიობა მათი შემდგომი ჯამით, ან უსასრულო რაოდენობის გამრავლების ჯამი, რომელიც შესრულებულია უსასრულო რიცხვებით. დღეს ინტეგრაცია ფართოდ გამოიყენება:
- რთული გეომეტრიული ფიგურების არეების პოვნა, რომლებისთვისაც შეუძლებელია კონკრეტული ფორმულის გამოტანა, როგორიცაა S = a × b ან S = π × r².
- არათანაბარი სიმკვრივის მქონე სხეულების მასების გამოთვლა.
- სხვადასხვა სიჩქარით გავლილი მანძილების განსაზღვრა.
მათემატიკაში (და სხვა მეცნიერებებში) ინტეგრალი აღინიშნება წაგრძელებული ასოთი ∫, რომელიც მიღებულია ლათინური S-დან (summa). არსებითად, ინტეგრალი არის მრავალი გამრავლებული წევრის ჯამი. უფრო მეტიც, იდეალური ინტეგრაცია (შეცდომების გარეშე) შეიძლება განხორციელდეს როგორც სასრულ, ისე უსასრულო სიდიდეებთან მიმართებაში.
ინტეგრალური გამოთვლის ისტორია
მიუხედავად იმისა, რომ „ინტეგრალის“ ცნება ჯერ არ არსებობდა, მისი პრინციპის გამოყენება ჯერ კიდევ ძველ საბერძნეთში დაიწყო. ამრიგად, არქიმედესმა გამოიყენა წრეების ფართობის საპოვნელად თანამედროვე ინტეგრაციასთან მაქსიმალურად მიახლოებული მეთოდი, კერძოდ, ამოწურვის მეთოდი.
ეს მოიცავდა სხვა ფიგურების მიმდევრობის რეგულარულ წრეში მორგებას, რასაც მოჰყვა მათი ფართობის ზღვრის განსაზღვრა. ამ გამოთვლების პირდაპირი ანალოგია არის უსასრულო ჯამის ზღვრის პოვნა ინტეგრაციის გამოყენებით.
თავდაპირველად მეთოდი გამოიყენებოდა მხოლოდ გეომეტრიაში, მაგრამ შემდეგ გამოიყენებოდა მექანიკაში, ეკონომიკაში, ასტრონომიასა და სხვა მეცნიერებებში. და მისი თანამედროვე სახელი, "ინტეგრაცია", წარმოიშვა მხოლოდ მე -17 საუკუნეში: ევროპელი მეცნიერების ისააკ ნიუტონისა და გოტფრიდ ვილჰელმ ლაიბნიცის კვლევის დროს. ინტეგრალის გამოყენება დაიწყო დიფერენციალური გამოთვლის სისტემებში და მიიღო მკაფიო მათემატიკური განმარტება - "ფუნქციის ანტიდერივატი".
მარტივი სიტყვებით რომ ვთქვათ, ინტეგრალი გეომეტრიაში არის მრუდი ფიგურის ფართობი. განუსაზღვრელი ინტეგრალი არის მთელი ფართობი, ხოლო განსაზღვრული ინტეგრალი არის ფართობი მოცემულ ფართობზე. შესაბამისად, წარმოებულის პოვნის პროცესს ეწოდება დიფერენციაცია, ხოლო ანტიდერივატივის პოვნას ეწოდება ინტეგრაცია.
ფუნქციების ინტეგრირების წესები
ინტეგრალებთან მუშაობისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ ტრანსფორმაციის ფორმულები, იმ პირობით, რომ ისინი იყენებენ მუდმივ C-ს. განისაზღვრება, ცნობილია თუ არა ინტეგრალის მნიშვნელობა კონკრეტულ (თვითნებურად აღებულ) წერტილში.
რადგან თითოეულ ფუნქციას აქვს ანტიწარმოებულების უსასრულო რაოდენობა, C-ის მნიშვნელობის ცოდნა, შეგიძლიათ ინტეგრალური ფორმულების გარდაქმნა შემდეგი გზებით:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
ლოგარითმული და ექსპონენციალური ფუნქციების ინტეგრალები ასევე შეიძლება გარდაიქმნას:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
ტრიგონომეტრიაში გამოიყენება ინტეგრალების გარდაქმნის მინიმუმ 15 ფორმულა, რომელთაგან ყველაზე მარტივია:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
მსგავსი ფორმულები არსებობს სეკანტების, კოსეკანტების, არქტანგენტების და ა.შ. მხოლოდ კომპიუტერს, უფრო სწორად ინტეგრაციის ფუნქციის მქონე სპეციალურ აპლიკაციას შეუძლია მათი სწრაფად გამოთვლა (ცვლადების ჩანაცვლების შემდეგ).
სწრაფად გამოსათვლელად განსაზღვრული ან განუსაზღვრელი ინტეგრალი, ან ფუნქციის ანტიწარმოებული, გამოიყენეთ ჩვენი კალკულატორი. საკმარისია მასში ჩაანაცვლოთ რიცხვითი მნიშვნელობები და შეარჩიოთ გაანგარიშების პარამეტრები. შედეგი ეკრანზე გამოჩნდება წამის მეასედში, რაც დაგიცავთ გრძელი და რთული გამოთვლების განხორციელების საჭიროებისგან.