적분 계산기
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수학 분석에서 적분은 면적, 부피, 질량, 거리 및 기타 일정하지 않은(변경 가능한) 양을 계산하는 데 적용할 수 있는 연속적인 합계 아날로그로 널리 사용됩니다.
예를 들어 이동하는 동안 여러 번 변할 수 있는 차량의 속도나 수행되는 계산 프로세스에 적응하는 프로세서의 주파수가 있습니다. 이러한 양은 최소값에서 최대값까지 범위에서 끊임없이 변하기 때문에 고정된 값으로 설명하는 것은 불가능하지만 적분을 사용하면 쉽게 설명할 수 있습니다.
측정량이 고정된 한계를 가지고 있는지 여부에 따라 정적분과 부정적분으로 구분됩니다. 첫 번째에는 있지만 두 번째에는 없습니다. 통합의 본질은 동일합니다.
간단히 말하면, 이는 여러 항을 곱한 후 합산하는 일련의 연산 또는 극소 항으로 수행되는 무한한 수의 곱셈의 합입니다. 오늘날 통합은 다음 용도로 널리 사용됩니다.
- S = a × b 또는 S = π × r²와 같은 특정 공식을 도출하는 것이 불가능한 복잡한 기하학적 도형의 영역을 찾습니다.
- 밀도가 고르지 않은 물체의 질량 계산
- 다양한 속도로 이동한 거리를 결정합니다.
수학(및 기타 과학)에서 적분은 라틴어 S(summa)에서 파생된 길쭉한 문자 ∫로 표시됩니다. 본질적으로 적분은 많은 곱셈 항의 합입니다. 또한 유한 수량과 무한 수량 모두에 대해 (오류 없는) 이상적인 적분을 수행할 수 있습니다.
적분학의 역사
'적분'이라는 개념 자체는 아직 존재하지 않았지만 그 원리는 고대 그리스에서 사용되기 시작했습니다. 따라서 아르키메데스는 원의 넓이를 구하기 위해 현대 적분법에 최대한 가까운 방법, 즉 소진법을 사용했습니다.
다른 도형의 순서를 정규 원에 맞추고 그 영역의 한계를 결정하는 방식으로 이루어졌습니다. 이러한 계산에 대한 직접적인 비유는 적분을 사용하여 무한합의 극한을 찾는 것입니다.
처음에는 이 방법이 기하학에만 사용되었지만 나중에는 역학, 경제, 천문학 및 기타 과학에도 적용되었습니다. 그리고 그것의 현대적 이름인 "통합"은 17세기에야 유럽 과학자 아이작 뉴턴(Isaac Newton)과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz)의 연구 중에 생겨났습니다. 적분은 미분 계산 시스템에서 사용되기 시작했으며 "함수의 역도함수"라는 명확한 수학적 정의를 받았습니다.
간단히 말하면 기하학의 적분은 곡선 도형의 면적입니다. 부정적분은 전체 면적이고, 정적분은 주어진 면적의 면적입니다. 따라서 도함수를 구하는 과정을 미분, 역도함수를 구하는 과정을 적분이라고 합니다.
기능 통합 규칙
적분 작업을 할 때 상수 C를 사용하는 경우 변환 공식을 사용할 수 있습니다. 특정(임의로 취해진) 지점의 적분 값이 알려진 경우 결정됩니다.
각 함수에는 무한한 수의 역도함수가 있으므로 C의 값을 알면 다음과 같은 방법으로 적분 공식을 변환할 수 있습니다.
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
대수 함수와 지수 함수의 적분도 변환할 수 있습니다.
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + 씨.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
삼각법에서는 적분을 변환하는 공식이 15개 이상 사용되며, 그 중 가장 간단한 공식은 다음과 같습니다.
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + 씨.
시컨트, 코시컨트, 아크탄젠트 등에 대한 유사한 공식이 있습니다. 컴퓨터나 통합 기능이 있는 특수 애플리케이션만이 이를 신속하게 계산할 수 있습니다(변수 대체 후).
부정적분, 부정적분, 함수의 역도함수를 빠르게 계산하려면 계산기를 사용하세요. 숫자 값을 대체하고 계산 매개 변수를 선택하면 충분합니다. 결과는 순식간에 화면에 표시되므로 길고 복잡한 계산을 수행할 필요가 없습니다.