Integralų skaičiuotuvas
![Integralų skaičiuotuvas](/media/images/integral_calculator.webp)
Matematinėje analizėje plačiai naudojamas integralas – ištisinis sumos analogas, taikomas skaičiuojant plotus, tūrius, mases, atstumus ir kitus nepastovius (kintamus) dydžius.
Pavyzdžiui, transporto priemonės greitis, kuris judant gali keistis daug kartų, arba procesoriaus, kuris prisitaiko prie atliekamų skaičiavimo procesų, dažnis. Neįmanoma apibūdinti šių dydžių kaip fiksuotos vertės, nes jie nuolat kinta diapazone nuo minimumo iki didžiausio, tačiau tai galima lengvai padaryti naudojant integralą.
Priklausomai nuo to, ar išmatuotas dydis turi fiksuotas ribas, išskiriamas apibrėžtasis ir neapibrėžtasis integralas. Pirmasis jų turi, o antrasis – ne. Integracijos esmė išlieka ta pati.
Paprasčiau tariant, tai yra kelių dėmenų daugybos ir vėlesnio jų sumavimo operacijų rinkinys arba begalinio skaičiaus daugybų, atliekamų naudojant be galo mažus narius, suma. Šiandien integracija plačiai naudojama:
- Sudėtingų geometrinių figūrų sričių, kurioms neįmanoma nustatyti konkrečios formulės, pvz., S = a × b arba S = π × r², nustatymas.
- Netolygaus tankio kūnų masių apskaičiavimas.
- Įvairiu greičiu nuvažiuotų atstumų nustatymas.
Matematikoje (ir kituose moksluose) integralas žymimas pailga raide ∫, kilusia iš lotyniško S (summa). Iš esmės integralas yra daugelio padaugintų terminų suma. Be to, idealią integraciją (be klaidų) galima atlikti tiek baigtinių, tiek begalinių dydžių atžvilgiu.
Integralių skaičiavimo istorija
Nors pati „integralo“ sąvoka dar neegzistavo, jos principas pradėtas vartoti dar Senovės Graikijoje. Taigi Archimedas apskritimų plotui rasdavo metodą, kuris būtų kuo artimesnis šiuolaikinei integracijai, būtent išnaudojimo metodą.
Ją sudarė kitų figūrų sekos pritaikymas į taisyklingą apskritimą, o po to buvo nustatyta jų plotų riba. Tiesioginė šių skaičiavimų analogija yra begalinės sumos ribos nustatymas naudojant integraciją.
Iš pradžių metodas buvo naudojamas tik geometrijoje, bet vėliau buvo pritaikytas mechanikoje, ekonomikoje, astronomijoje ir kituose moksluose. O šiuolaikinis jos pavadinimas „integracija“ atsirado tik XVII amžiuje: Europos mokslininkų Isaaco Newtono ir Gottfriedo Wilhelmo Leibnizo tyrinėjimų metu. Integralas buvo pradėtas naudoti diferencialinio skaičiavimo sistemose ir gavo aiškų matematinį apibrėžimą – „funkcijos antiderivatyvas“.
Paprasčiau tariant, integralas geometrijoje yra kreivinės figūros plotas. Neapibrėžtasis integralas yra visas plotas, o apibrėžtasis integralas yra plotas tam tikroje srityje. Atitinkamai, darinio radimo procesas vadinamas diferenciacija, o antidarinio radimas – integracija.
Funkcijų integravimo taisyklės
Dirbant su integralais, galite naudoti transformavimo formules, jei jose naudojama konstanta C. Nustatoma, ar žinoma integralo reikšmė konkrečiame (savavališkai paimtame) taške.
Kadangi kiekviena funkcija turi begalinį antidarinių skaičių, žinodami C reikšmę integralines formules galite transformuoti šiais būdais:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Logaritminių ir eksponentinių funkcijų integralai taip pat gali būti transformuojami:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
Trigonometrijoje naudojama mažiausiai 15 integralų transformavimo formulių, iš kurių paprasčiausios yra:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
Panašios formulės yra sekantams, kosekantams, arktangentams ir pan. Greitai (pakeitus kintamuosius) juos gali apskaičiuoti tik kompiuteris, tiksliau speciali programa su integravimo funkcija.
Jei norite greitai apskaičiuoti apibrėžtąjį ar neapibrėžtą integralą arba funkcijos antidarinį, naudokite mūsų skaičiuotuvą. Pakanka į jį pakeisti skaitines reikšmes ir pasirinkti skaičiavimo parametrus. Rezultatas bus rodomas ekrane per sekundės dalį, todėl jums nereikės atlikti ilgų ir sudėtingų skaičiavimų.