Integrālais kalkulators
![Integrālais kalkulators](/media/images/integral_calculator.webp)
Matemātiskajā analīzē plaši tiek izmantots integrālis — nepārtraukts summas analogs, kas izmantojams laukumu, tilpumu, masu, attālumu un citu nekonstantu (maināmu) lielumu aprēķināšanai.
Piemēram, transportlīdzekļa ātrums, kas kustības laikā var mainīties vairākas reizes, vai procesora frekvence, kas pielāgojas veicamajiem skaitļošanas procesiem. Šos lielumus nav iespējams aprakstīt kā fiksētu vērtību, jo tie pastāvīgi mainās diapazonā no minimālā līdz maksimālajam, taču to var viegli izdarīt, izmantojot integrāli.
Atkarībā no tā, vai izmērītajam daudzumam ir noteiktas robežas, tiek izdalīts noteikts un nenoteikts integrālis. Pirmajā tās ir, bet otrajā nav. Integrācijas būtība paliek nemainīga.
Vienkārši sakot, šī ir vairāku terminu reizināšanas darbību kopa ar to sekojošu summēšanu vai bezgalīgi daudzu reizinājumu summa, kas veikta ar bezgalīgi maziem vārdiem. Mūsdienās integrāciju plaši izmanto:
- Sarežģītu ģeometrisku figūru apgabalu atrašana, kurām nav iespējams iegūt konkrētu formulu, piemēram, S = a × b vai S = π × r².
- Nevienmērīga blīvuma ķermeņu masu aprēķins.
- Ar dažādu ātrumu nobraukto attālumu noteikšana.
Matemātikā (un citās zinātnēs) integrāli apzīmē ar iegarenu burtu ∫, kas atvasināts no latīņu vārda S (summa). Būtībā integrālis ir daudzu reizinātu terminu summa. Turklāt ideālu integrāciju (bez kļūdām) var veikt gan attiecībā uz galīgiem, gan bezgalīgiem daudzumiem.
Integrāļa aprēķina vēsture
Lai gan jēdziens “integrāls” vēl nepastāvēja, tā principu sāka lietot jau Senajā Grieķijā. Tādējādi Arhimēds izmantoja, lai atrastu apļu laukumu metodi, kas bija pēc iespējas tuvāka mūsdienu integrācijai, proti, izsmelšanas metode.
Tas sastāvēja no citu figūru secības ievietošanas regulārā aplī, kam sekoja to laukumu robežas noteikšana. Tieša līdzība šiem aprēķiniem ir bezgalīgas summas robežas atrašana, izmantojot integrāciju.
Sākotnēji šī metode tika izmantota tikai ģeometrijā, bet pēc tam tika pielietota mehānikā, ekonomikā, astronomijā un citās zinātnēs. Un tās modernais nosaukums “integrācija” radās tikai 17. gadsimtā: Eiropas zinātnieku Īzaka Ņūtona un Gotfrīda Vilhelma Leibnica pētījumu laikā. Integrāli sāka lietot diferenciālrēķinu sistēmās, un tas saņēma skaidru matemātisko definīciju - “funkcijas antiatvasinājums”.
Vienkārši sakot, integrālis ģeometrijā ir līknes figūras laukums. Nenoteiktais integrālis ir viss laukums, un noteiktais integrālis ir laukums noteiktā apgabalā. Attiecīgi atvasinājuma atrašanas procesu sauc par diferenciāciju, un antiatvasinājuma atrašanu sauc par integrāciju.
Funkciju integrēšanas noteikumi
Strādājot ar integrāļiem, varat izmantot transformāciju formulas, ja tās izmanto konstanti C. Tiek noteikts, vai ir zināma integrāļa vērtība noteiktā (patvaļīgi ņemtā) punktā.
Tā kā katrai funkcijai ir bezgalīgs skaits antiatvasinājumu, zinot C vērtību, integrālās formulas var pārveidot šādos veidos:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Var pārveidot arī logaritmisko un eksponenciālo funkciju integrāļus:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
Trigonometrijā integrāļu pārveidošanai tiek izmantotas vismaz 15 formulas, no kurām vienkāršākās ir:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
Līdzīgas formulas pastāv sekantiem, kosekantiem, arktangentiem utt. Tikai dators vai drīzāk īpaša lietojumprogramma ar integrācijas funkciju var tos ātri aprēķināt (pēc mainīgo aizstāšanas).
Lai ātri aprēķinātu noteiktu vai nenoteiktu integrāli vai funkcijas antiatvasinājumu, izmantojiet mūsu kalkulatoru. Pietiek ar to aizstāt skaitliskās vērtības un izvēlēties aprēķina parametrus. Rezultāts tiks parādīts ekrānā sekundes daļā, kas pasargās jūs no nepieciešamības veikt ilgus un sarežģītus aprēķinus.