Integral (antiderivative) calculator
![Integral (antiderivative) calculator](/media/images/integral_calculator.webp)
Во математичката анализа, интегралот е широко користен - континуиран аналог на збир, применлив за пресметување области, волумени, маси, растојанија и други неконстантни (променливи) големини.
На пример, брзината на возилото, која може да се промени многу пати додека се движи, или фреквенцијата на процесорот, кој се прилагодува на пресметковните процеси што се вршат. Невозможно е да се опишат овие количини како фиксна вредност, бидејќи тие постојано се менуваат во опсегот од минимум до максимум, но тоа може лесно да се направи со помош на интеграл.
Во зависност од тоа дали измерената величина има фиксни граници, се разликуваат определен и неопределен интеграл. Првиот ги има, но вториот нема. Суштината на интеграцијата останува иста.
Во едноставни термини, ова е збир на операции на множење на неколку членови со нивно последователно собирање, или збир на бесконечен број множење извршени со бесконечно мали членови. Денес интеграцијата е широко користена за:
- Наоѓање области на сложени геометриски фигури за кои е невозможно да се изведе одредена формула како S = a × b или S = π × r².
- Пресметка на масите на телата со нерамна густина.
- Одредување на изминати растојанија со различна брзина.
Во математиката (и другите науки), интегралот се означува со издолжена буква ∫, изведена од латинскиот S (summa). Во суштина, интегралот е збир на многу помножени членови. Покрај тоа, идеалната интеграција (без грешки) може да се изврши и во однос на конечни и бесконечни големини.
Историја на интегрална пресметка
Иако самиот концепт на „интеграл“ сè уште не постоел, неговиот принцип почнал да се користи уште во Античка Грција. Така, Архимед користел за да ја пронајде областа на круговите метод што бил што е можно поблизок до модерната интеграција, имено методот на исцрпување.
Тоа се состоеше во вклопување на низа од други фигури во правилен круг, проследено со одредување на границата на нивните области. Директна аналогија на овие пресметки е наоѓањето на границата на бесконечна сума користејќи интеграција.
Првично, методот се користеше само во геометријата, но потоа најде примена во механиката, економијата, астрономијата и другите науки. И неговото модерно име, „интеграција“, се појави дури во 17 век: за време на истражувањето на европските научници Исак Њутн и Готфрид Вилхелм Лајбниц. Интегралот почна да се користи во системи за диференцијална пресметка и доби јасна математичка дефиниција - „антидериватив на функцијата“.
Во едноставни термини, интеграл во геометријата е плоштината на криволинеарна фигура. Неопределениот интеграл е целата плоштина, а определениот интеграл е плоштината во дадена област. Според тоа, процесот на пронаоѓање на дериватот се нарекува диференцијација, а наоѓањето на антидериватот се нарекува интеграција.
Правила за интегрирање на функции
Кога работите со интеграли, можете да користите формули за трансформација, под услов да ја користат константата C. Се одредува дали вредноста на интегралот во одредена (произволно земена) точка е позната.
Бидејќи секоја функција има бесконечен број на антидеривати, знаејќи ја вредноста на C, можете да ги трансформирате интегралните формули на следниве начини:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Интеграли на логаритамски и експоненцијални функции исто така може да се трансформираат:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
Во тригонометријата се користат најмалку 15 формули за трансформирање интеграли, од кои наједноставни се:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
Слични формули постојат за секанти, косеканти, арктангенти и така натаму. Само компјутер, поточно специјална апликација со функција за интеграција, може брзо да ги пресмета (откако ќе ги замени променливите).
За брзо пресметување на определен или неопределен интеграл или антидериват на функција, користете го нашиот калкулатор. Доволно е да се заменат нумеричките вредности во него и да се изберат параметри за пресметка. Резултатот ќе се прикаже на екранот во дел од секундата, што ќе ве спаси од потребата да направите долги и сложени пресметки.