Kalkulator integral
Dalam analisis matematik, kamiran digunakan secara meluas - analog berterusan bagi jumlah, terpakai untuk mengira luas, isipadu, jisim, jarak dan kuantiti tidak tetap (boleh berubah) lain.
Contohnya, kelajuan kenderaan, yang boleh berubah banyak kali semasa bergerak, atau kekerapan pemproses, yang menyesuaikan diri dengan proses pengiraan yang dilakukan. Adalah mustahil untuk menggambarkan kuantiti ini sebagai nilai tetap, kerana ia sentiasa berubah dalam julat daripada minimum kepada maksimum, tetapi ini boleh dilakukan dengan mudah menggunakan kamiran.
Bergantung kepada sama ada kuantiti yang diukur mempunyai had tetap, kamiran pasti dan tak tentu dibezakan. Yang pertama mempunyai mereka, tetapi yang kedua tidak. Intipati integrasi tetap sama.
Dalam istilah mudah, ini ialah satu set operasi pendaraban beberapa sebutan dengan penjumlahan berikutnya, atau hasil tambah bilangan pendaraban tak terhingga yang dilakukan dengan sebutan terhingga. Penyepaduan hari ini digunakan secara meluas untuk:
- Mencari kawasan angka geometri kompleks yang mustahil untuk mendapatkan formula khusus seperti S = a × b atau S = π × r².
- Pengiraan jisim jasad dengan ketumpatan tidak sekata.
- Penentuan jarak yang dilalui pada kelajuan yang berbeza-beza.
Dalam matematik (dan sains lain), kamiran dilambangkan dengan huruf memanjang ∫, berasal daripada bahasa Latin S (summa). Pada dasarnya, kamiran ialah hasil tambah bagi banyak sebutan yang didarab. Selain itu, penyepaduan ideal (tanpa ralat) boleh dijalankan berhubung dengan kedua-dua kuantiti terhingga dan tak terhingga.
Sejarah kalkulus kamiran
Walaupun konsep "integral" belum wujud, prinsipnya mula digunakan kembali di Greece Purba. Oleh itu, Archimedes pernah mencari luas bulatan kaedah yang sehampir mungkin dengan integrasi moden, iaitu kaedah keletihan.
Ia terdiri daripada memasukkan jujukan angka lain ke dalam bulatan biasa, diikuti dengan menentukan had kawasan mereka. Analogi langsung kepada pengiraan ini ialah mencari had jumlah tak terhingga menggunakan penyepaduan.
Pada mulanya, kaedah ini hanya digunakan dalam geometri, tetapi kemudian ditemui aplikasi dalam mekanik, ekonomi, astronomi dan sains lain. Dan nama modennya, "integrasi," muncul hanya pada abad ke-17: semasa penyelidikan saintis Eropah Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz. Kamiran mula digunakan dalam sistem kalkulus pembezaan, dan ia menerima takrifan matematik yang jelas - "antiterbitan bagi fungsi."
Dalam istilah mudah, kamiran dalam geometri ialah luas rajah lengkung. Kamiran tak tentu ialah keseluruhan kawasan, dan kamiran pasti ialah luas dalam kawasan tertentu. Sehubungan itu, proses mencari derivatif dipanggil pembezaan, dan mencari antiderivatif dipanggil penyepaduan.
Peraturan untuk menyepadukan fungsi
Apabila bekerja dengan kamiran, anda boleh menggunakan formula penjelmaan, dengan syarat ia menggunakan pemalar C. Ia ditentukan jika nilai kamiran pada titik tertentu (diambil secara sewenang-wenangnya) diketahui.
Memandangkan setiap fungsi mempunyai bilangan antiderivatif yang tidak terhingga, dengan mengetahui nilai C, anda boleh mengubah formula kamiran dengan cara berikut:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Integral bagi fungsi logaritma dan eksponen juga boleh diubah:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
Dalam trigonometri, sekurang-kurangnya 15 formula untuk mengubah kamiran digunakan, yang paling mudah ialah:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
Formula serupa wujud untuk secan, cosecant, arctangents dan sebagainya. Hanya komputer, atau lebih tepatnya aplikasi khas dengan fungsi penyepaduan, boleh mengiranya dengan cepat (selepas menggantikan pembolehubah).
Untuk mengira dengan cepat kamiran pasti atau tak tentu, atau antiterbitan fungsi, gunakan kalkulator kami. Ia cukup untuk menggantikan nilai berangka ke dalamnya dan memilih parameter pengiraan. Hasilnya akan dipaparkan pada skrin dalam sepersekian saat, yang akan menjimatkan anda daripada keperluan untuk menjalankan pengiraan yang panjang dan rumit.
