Integrale calculator
In de wiskundige analyse wordt de integraal veel gebruikt: een continue analoog van een som, toepasbaar voor het berekenen van gebieden, volumes, massa's, afstanden en andere niet-constante (veranderlijke) grootheden.
Bijvoorbeeld de snelheid van een voertuig, die tijdens het rijden vele malen kan veranderen, of de frequentie van een processor, die zich aanpast aan de computerprocessen die worden uitgevoerd. Het is onmogelijk om deze grootheden als een vaste waarde te beschrijven, omdat ze voortdurend veranderen in het bereik van minimum naar maximum, maar dit kan eenvoudig worden gedaan met behulp van een integraal.
Afhankelijk van het feit of de gemeten grootheid vaste grenzen heeft, wordt er onderscheid gemaakt tussen een bepaalde en een onbepaalde integraal. De eerste heeft ze, maar de tweede niet. De essentie van integratie blijft hetzelfde.
In eenvoudige bewoordingen is dit een reeks bewerkingen voor de vermenigvuldiging van verschillende termen met hun daaropvolgende optelling, of de som van een oneindig aantal vermenigvuldigingen uitgevoerd met oneindig kleine termen. Tegenwoordig wordt integratie veel gebruikt voor:
- Het vinden van de gebieden van complexe geometrische figuren waarvoor het onmogelijk is een specifieke formule af te leiden, zoals S = a × b of S = π × r².
- Berekening van de massa van lichamen met ongelijkmatige dichtheid.
- Bepaling van afstanden die met verschillende snelheden worden afgelegd.
In de wiskunde (en andere wetenschappen) wordt een integraal aangegeven met een langwerpige letter ∫, afgeleid van de Latijnse S (summa). In wezen is een integraal de som van vele vermenigvuldigde termen. Bovendien kan ideale integratie (zonder fouten) worden uitgevoerd met betrekking tot zowel eindige als oneindige hoeveelheden.
Geschiedenis van integraalrekening
Hoewel het concept van ‘integraal’ nog niet bestond, werd het principe ervan al in het oude Griekenland gebruikt. Zo vond Archimedes het gebied van cirkels een methode die zo dicht mogelijk bij de moderne integratie lag, namelijk de uitputtingsmethode.
Het bestond uit het plaatsen van een reeks andere figuren in een regelmatige cirkel, gevolgd door het bepalen van de grens van hun oppervlakte. Een directe analogie met deze berekeningen is het vinden van de limiet van een oneindige som met behulp van integratie.
Aanvankelijk werd de methode alleen in de meetkunde gebruikt, maar vond daarna toepassing in de mechanica, economie, astronomie en andere wetenschappen. En de moderne naam, ‘integratie’, ontstond pas in de 17e eeuw: tijdens het onderzoek van de Europese wetenschappers Isaac Newton en Gottfried Wilhelm Leibniz. De integraal werd gebruikt in differentiaalrekeningsystemen en kreeg een duidelijke wiskundige definitie: 'antiderivaat van een functie'.
In eenvoudige bewoordingen is een integraal in de geometrie de oppervlakte van een kromlijnige figuur. De onbepaalde integraal is het gehele gebied, en de bepaalde integraal is het gebied in een bepaald gebied. Dienovereenkomstig wordt het proces van het vinden van de afgeleide differentiatie genoemd, en het vinden van de primitief heet integratie.
Regels voor het integreren van functies
Bij het werken met integralen kun je transformatieformules gebruiken, op voorwaarde dat ze de constante C gebruiken. Er wordt bepaald of de waarde van de integraal op een specifiek (willekeurig genomen) punt bekend is.
Aangezien elke functie een oneindig aantal primitieve getallen heeft, kun je, als je de waarde van C kent, integrale formules op de volgende manieren transformeren:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Integralen van logaritmische en exponentiële functies kunnen ook worden getransformeerd:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
In trigonometrie worden minstens 15 formules gebruikt voor het transformeren van integralen, waarvan de eenvoudigste zijn:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
Er bestaan soortgelijke formules voor secansen, cosecansen, boogtangensen, enzovoort. Alleen een computer, of beter gezegd een speciale applicatie met een integratiefunctie, kan ze snel berekenen (na het vervangen van variabelen).
Gebruik onze rekenmachine om snel een bepaalde of onbepaalde integraal of een primitief van een functie te berekenen. Het volstaat om er numerieke waarden in te vervangen en berekeningsparameters te selecteren. Het resultaat wordt binnen een fractie van een seconde op het scherm weergegeven, waardoor u geen lange en complexe berekeningen hoeft uit te voeren.
