Integralkalkulator
I matematisk analyse er integralet mye brukt - en kontinuerlig analog av en sum, som kan brukes for å beregne arealer, volumer, masser, avstander og andre ikke-konstante (foranderlige) størrelser.
For eksempel hastigheten til et kjøretøy, som kan endres mange ganger under bevegelse, eller frekvensen til en prosessor, som tilpasser seg beregningsprosessene som utføres. Det er umulig å beskrive disse mengdene som en fast verdi, siden de hele tiden endres i området fra minimum til maksimum, men dette kan enkelt gjøres ved hjelp av en integral.
Avhengig av om den målte størrelsen har faste grenser, skilles et bestemt og ubestemt integral. Den første har dem, men den andre ikke. Essensen av integrering forblir den samme.
Forenklet sett er dette et sett med operasjoner med multiplikasjon av flere ledd med påfølgende summering, eller summen av et uendelig antall multiplikasjoner utført med uendelig små ledd. I dag er integrering mye brukt for:
- Finne arealene til komplekse geometriske figurer som det er umulig å utlede en spesifikk formel for som S = a × b eller S = π × r².
- Beregning av massene av kropper med ujevn tetthet.
- Bestemmelse av tilbakelagte avstander med varierende hastighet.
I matematikk (og andre vitenskaper) er et integral betegnet med en langstrakt bokstav ∫, avledet fra det latinske S (summa). I hovedsak er et integral summen av mange multipliserte ledd. Dessuten kan ideell integrasjon (uten feil) utføres i forhold til både endelige og uendelige mengder.
Historie for integralregning
Selv om selve konseptet "integral" ennå ikke eksisterte, begynte prinsippet å bli brukt tilbake i antikkens Hellas. Derfor pleide Arkimedes å finne området med sirkler en metode som var så nær moderne integrasjon som mulig, nemlig utmattelsesmetoden.
Det besto i å passe en sekvens av andre figurer inn i en vanlig sirkel, etterfulgt av å bestemme grensen for deres områder. En direkte analogi til disse beregningene er å finne grensen for en uendelig sum ved å bruke integrasjon.
Opprinnelig ble metoden bare brukt i geometri, men fant deretter anvendelse innen mekanikk, økonomi, astronomi og andre vitenskaper. Og dets moderne navn, "integrasjon", oppsto først på 1600-tallet: under forskningen til europeiske vitenskapsmenn Isaac Newton og Gottfried Wilhelm Leibniz. Integralet begynte å bli brukt i differensialregningssystemer, og det fikk en klar matematisk definisjon - "antiderivat av en funksjon."
Forenklet sett er en integral i geometri arealet til en krumlinjet figur. Det ubestemte integralet er hele arealet, og det bestemte integralet er arealet i et gitt område. Følgelig kalles prosessen med å finne den deriverte differensiering, og å finne antiderivaten kalles integrasjon.
Regler for integrering av funksjoner
Når du arbeider med integraler, kan du bruke transformasjonsformler, forutsatt at de bruker konstanten C. Det bestemmes om verdien av integralet ved et spesifikt (vilkårlig tatt) punkt er kjent.
Siden hver funksjon har et uendelig antall antiderivater, kan du, ved å vite verdien av C, transformere integralformler på følgende måter:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Integraler av logaritmiske og eksponentielle funksjoner kan også transformeres:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
I trigonometri brukes minst 15 formler for transformering av integraler, hvorav de enkleste er:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
Lignende formler finnes for sekanter, cosekanter, arctangenser og så videre. Bare en datamaskin, eller snarere en spesiell applikasjon med en integreringsfunksjon, kan beregne dem raskt (etter å ha erstattet variabler).
For raskt å beregne en bestemt eller ubestemt integral, eller en antiderivert av en funksjon, bruk kalkulatoren vår. Det er nok å erstatte numeriske verdier i den og velge beregningsparametere. Resultatet vil vises på skjermen i løpet av et brøkdel av et sekund, noe som vil spare deg fra behovet for å utføre lange og komplekse beregninger.
