Kalkulator całek
W analizie matematycznej powszechnie stosuje się całkę – ciągły odpowiednik sumy, mający zastosowanie do obliczania pól, objętości, mas, odległości i innych niestałych (zmiennych) wielkości.
Na przykład prędkość pojazdu, która może zmieniać się wielokrotnie podczas ruchu, czy częstotliwość procesora, która dostosowuje się do realizowanych procesów obliczeniowych. Nie da się opisać tych wielkości jako wartości stałej, ponieważ stale zmieniają się one w zakresie od minimum do maksimum, ale można to łatwo zrobić za pomocą całki.
W zależności od tego, czy mierzona wielkość ma stałe granice, rozróżnia się całkę oznaczoną i nieoznaczoną. Pierwszy je ma, ale drugi nie. Istota integracji pozostaje ta sama.
W uproszczeniu jest to zbiór operacji mnożenia kilku wyrazów z ich późniejszym sumowaniem lub suma nieskończonej liczby mnożeń wykonanych przez nieskończenie małe wyrazy. Obecnie integracja jest szeroko stosowana w:
- Wyszukiwanie obszarów złożonych figur geometrycznych, dla których nie można wyprowadzić konkretnego wzoru, np. S = a × b lub S = π × r².
- Obliczanie mas ciał o nierównej gęstości.
- Wyznaczanie odległości przebytych przy różnych prędkościach.
W matematyce (i innych naukach) całkę oznacza się wydłużoną literą ∫, pochodzącą od łacińskiego S (summa). W istocie całka jest sumą wielu pomnożonych terminów. Co więcej, całkowanie idealne (bez błędów) można przeprowadzić zarówno w odniesieniu do wielkości skończonych, jak i nieskończonych.
Historia rachunku całkowego
Chociaż samo pojęcie „całości” jeszcze nie istniało, jego zasadę zaczęto stosować już w starożytnej Grecji. Dlatego Archimedes do wyznaczania pola koła stosował metodę możliwie najbardziej zbliżoną do współczesnej integracji, a mianowicie metodę wyczerpania.
Polegało to na wpasowaniu ciągu innych figur w regularne koło, a następnie określeniu granicy ich pól. Bezpośrednią analogią do tych obliczeń jest znalezienie granicy nieskończonej sumy za pomocą całkowania.
Początkowo metodę tę stosowano wyłącznie w geometrii, ale później znalazła ona zastosowanie w mechanice, ekonomii, astronomii i innych naukach. A jej współczesna nazwa „integracja” powstała dopiero w XVII wieku: podczas badań europejskich naukowców Izaaka Newtona i Gottfrieda Wilhelma Leibniza. Całkę zaczęto stosować w systemach rachunku różniczkowego i otrzymała ona jasną matematyczną definicję – „funkcja pierwotna funkcji”.
W uproszczeniu całka w geometrii to obszar figury krzywoliniowej. Całka nieoznaczona to całe pole, a całka oznaczona to pole w danym obszarze. W związku z tym proces znajdowania pochodnej nazywa się różniczkowaniem, a znajdowanie funkcji pierwotnej nazywa się integracją.
Zasady całkowania funkcji
Podczas pracy z całkami można stosować wzory przekształceniowe, pod warunkiem, że używają one stałej C. Ustala się, czy znana jest wartość całki w określonym (dowolnym) punkcie.
Ponieważ każda funkcja ma nieskończoną liczbę funkcji pierwotnych, znając wartość C, możesz przekształcić formuły całkowe w następujący sposób:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Całki funkcji logarytmicznych i wykładniczych można również przekształcać:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
W trygonometrii stosuje się co najmniej 15 wzorów na przekształcenie całek, z których najprostsze to:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
Istnieją podobne wzory na sieczne, cosecants, arcustangens i tak dalej. Tylko komputer, a raczej specjalna aplikacja z funkcją całkowania, jest w stanie je szybko obliczyć (po podstawieniu zmiennych).
Aby szybko obliczyć całkę oznaczoną, nieoznaczoną lub funkcję pierwotną funkcji, skorzystaj z naszego kalkulatora. Wystarczy wstawić do niego wartości liczbowe i wybrać parametry obliczeń. Wynik wyświetli się na ekranie w ułamku sekundy, co pozwoli Ci uniknąć konieczności przeprowadzania długich i skomplikowanych obliczeń.
