Calculadora integral
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Na análise matemática, a integral é amplamente utilizada - um análogo contínuo de uma soma, aplicável para calcular áreas, volumes, massas, distâncias e outras quantidades não constantes (mutáveis).
Por exemplo, a velocidade de um veículo, que pode mudar muitas vezes durante o movimento, ou a frequência de um processador, que se adapta aos processos computacionais que estão sendo executados. É impossível descrever essas quantidades como um valor fixo, pois elas mudam constantemente na faixa do mínimo ao máximo, mas isso pode ser feito facilmente usando uma integral.
Dependendo se a quantidade medida tem limites fixos, uma integral definida e uma integral indefinida são distinguidas. O primeiro os possui, mas o segundo não. A essência da integração permanece a mesma.
Em termos simples, trata-se de um conjunto de operações de multiplicação de vários termos com sua posterior soma, ou a soma de um número infinito de multiplicações realizadas com termos infinitesimais. Hoje a integração é amplamente utilizada para:
- Encontrar as áreas de figuras geométricas complexas para as quais é impossível derivar uma fórmula específica como S = a × b ou S = π × r².
- Cálculo das massas de corpos com densidade irregular.
- Determinação de distâncias percorridas em velocidades variadas.
Em matemática (e outras ciências), uma integral é denotada por uma letra alongada ∫, derivada do latim S (summa). Em essência, uma integral é a soma de muitos termos multiplicados. Além disso, a integração ideal (sem erros) pode ser realizada em relação a quantidades finitas e infinitas.
História do cálculo integral
Embora o próprio conceito de “integral” ainda não existisse, seu princípio começou a ser utilizado na Grécia Antiga. Assim, Arquimedes utilizou para encontrar a área dos círculos um método o mais próximo possível da integração moderna, nomeadamente o método da exaustão.
Consistia em encaixar uma sequência de outras figuras num círculo regular, determinando posteriormente o limite das suas áreas. Uma analogia direta a esses cálculos é encontrar o limite de uma soma infinita usando integração.
Inicialmente, o método era usado apenas em geometria, mas depois encontrou aplicação em mecânica, economia, astronomia e outras ciências. E o seu nome moderno, “integração”, surgiu apenas no século XVII: durante a investigação dos cientistas europeus Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz. A integral começou a ser usada em sistemas de cálculo diferencial e recebeu uma definição matemática clara - “antiderivada de uma função”.
Em termos simples, uma integral em geometria é a área de uma figura curvilínea. A integral indefinida é a área inteira, e a integral definida é a área de uma determinada área. Conseqüentemente, o processo de encontrar a derivada é chamado de diferenciação, e encontrar a antiderivada é chamado de integração.
Regras para integração de funções
Ao trabalhar com integrais, você pode usar fórmulas de transformação, desde que usem a constante C. É determinado se o valor da integral em um ponto específico (tomado arbitrariamente) é conhecido.
Como cada função possui um número infinito de primitivas, conhecendo o valor de C, você pode transformar fórmulas integrais das seguintes maneiras:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Integrais de funções logarítmicas e exponenciais também podem ser transformadas:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| +C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
Na trigonometria, são usadas pelo menos 15 fórmulas para transformar integrais, sendo as mais simples:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| +C.
Existem fórmulas semelhantes para secantes, cossecantes, arcotangentes e assim por diante. Somente um computador, ou melhor, um aplicativo especial com função de integração, pode calculá-los rapidamente (após substituição de variáveis).
Para calcular rapidamente uma integral definida ou indefinida, ou uma primitiva de uma função, use nossa calculadora. Basta substituir nele valores numéricos e selecionar os parâmetros de cálculo. O resultado será exibido na tela em uma fração de segundo, o que evitará a necessidade de realizar cálculos longos e complexos.