Calculator de integrale
![Calculator de integrale](/media/images/integral_calculator.webp)
În analiza matematică, integrala este utilizată pe scară largă - un analog continuu al unei sume, aplicabil pentru calcularea suprafețelor, volumelor, maselor, distanțelor și altor cantități neconstante (schimbabile).
De exemplu, viteza unui vehicul, care se poate schimba de multe ori în timpul mișcării, sau frecvența unui procesor, care se adaptează proceselor de calcul efectuate. Este imposibil să descriem aceste cantități ca o valoare fixă, deoarece se modifică constant în intervalul de la minim la maxim, dar acest lucru se poate face cu ușurință folosind o integrală.
În funcție de dacă mărimea măsurată are limite fixe, se disting integrala definită și nedefinită. Primul le are, dar al doilea nu. Esența integrării rămâne aceeași.
În termeni simpli, acesta este un set de operații de înmulțire a mai multor termeni cu însumarea lor ulterioară, sau suma unui număr infinit de înmulțiri efectuate cu termeni infinitezimali. Astăzi, integrarea este utilizată pe scară largă pentru:
- Găsirea ariilor figurilor geometrice complexe pentru care este imposibil să se obțină o formulă specifică, cum ar fi S = a × b sau S = π × r².
- Calculul maselor corpurilor cu densitate neuniformă.
- Determinarea distanțelor parcurse cu viteze diferite.
În matematică (și în alte științe), o integrală este notată printr-o litera alungită ∫, derivată din latinescul S (summa). În esență, o integrală este suma mai multor termeni înmulțiți. Mai mult, integrarea ideală (fără erori) poate fi realizată atât în raport cu mărimi finite, cât și cu infinite.
Istoria calculului integral
Deși însuși conceptul de „integral” nu exista încă, principiul său a început să fie folosit încă din Grecia Antică. Astfel, Arhimede obișnuia să găsească aria cercurilor o metodă cât mai apropiată de integrarea modernă și anume metoda epuizării.
A constat în încadrarea unei succesiuni de alte figuri într-un cerc regulat, urmată de determinarea limitei ariilor acestora. O analogie directă cu aceste calcule este găsirea limitei unei sume infinite folosind integrare.
Inițial, metoda a fost folosită numai în geometrie, dar apoi și-a găsit aplicație în mecanică, economie, astronomie și alte științe. Iar numele său modern, „integrare”, a apărut abia în secolul al XVII-lea: în timpul cercetărilor oamenilor de știință europeni Isaac Newton și Gottfried Wilhelm Leibniz. Integrala a început să fie utilizată în sistemele de calcul diferențial și a primit o definiție matematică clară - „antiderivată a unei funcții”.
În termeni simpli, o integrală în geometrie este aria unei figuri curbilinii. Integrala nedefinită este întreaga zonă, iar integrala definită este aria dintr-o zonă dată. În consecință, procesul de găsire a derivatei se numește diferențiere, iar găsirea antiderivatei se numește integrare.
Reguli pentru integrarea funcțiilor
Când lucrați cu integrale, puteți utiliza formule de transformare, cu condiția ca acestea să utilizeze constanta C. Se determină dacă valoarea integralei într-un anumit punct (luat în mod arbitrar) este cunoscută.
Deoarece fiecare funcție are un număr infinit de antiderivate, cunoscând valoarea lui C, puteți transforma formulele integrale în următoarele moduri:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Integralele funcțiilor logaritmice și exponențiale pot fi, de asemenea, transformate:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
În trigonometrie, sunt folosite cel puțin 15 formule pentru transformarea integralelor, dintre care cele mai simple sunt:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
Există formule similare pentru secante, cosecante, arctangente și așa mai departe. Numai un computer, sau mai degrabă o aplicație specială cu funcție de integrare, le poate calcula rapid (după înlocuirea variabilelor).
Pentru a calcula rapid o integrală definită sau nedefinită sau o antiderivată a unei funcții, utilizați calculatorul nostru. Este suficient să înlocuiți valorile numerice în el și să selectați parametrii de calcul. Rezultatul va fi afișat pe ecran într-o fracțiune de secundă, ceea ce vă va scuti de necesitatea de a efectua calcule lungi și complexe.