Калькулятор интегралов
![Калькулятор интегралов](/media/images/integral_calculator.webp)
В математическом анализе широко применяется интеграл — непрерывный аналог суммы, применимый для вычисления площадей, объёмов, масс, расстояний и прочих непостоянных (изменчивых) величин.
Например, скорость транспорта, которая может многократно меняться во время движения, или частота работы процессора, которая подстраивается под выполняемые вычислительные процессы. Описать эти величины в виде фиксированного значения невозможно, так как они постоянно изменяются в интервале от минимума до максимума, но это можно легко сделать с помощью интеграла.
В зависимости от того, есть ли у измеряемой величины фиксированные пределы, различают определённый и неопределённый интеграл. У первого они есть, а у второго — отсутствуют. Суть интегрирования при этом остаётся одинаковой.
Говоря простым языком, это множество операций умножения нескольких слагаемых с их последующим суммированием, или сумма бесконечного количества умножений, проведённых с бесконечно малыми слагаемыми. Сегодня интегрирование повсеместно применяют для:
- Нахождения площадей сложных геометрических фигур, для которых невозможно вывести конкретную формулу типа S = a × b или S = π × r².
- Вычисления масс тел, обладающих неравномерной плотностью.
- Определения пройденных расстояний с переменчивой скоростью.
В математике (и других науках) интеграл обозначается вытянутой буквой ∫, происходящей от латинской S (summa). По сути, интеграл — это и есть сумма множества перемноженных слагаемых. Причём, идеальное интегрирование (без погрешностей) можно проводить в отношении как конечных, так и бесконечных величин.
История интегрального исчисления
Хотя самого понятия «интеграл» тогда ещё не существовало, его принцип начали использовать ещё в Древней Греции. Так, Архимед (Ἀρχιμήδης) применял для нахождения площади окружностей метод, максимально приближённый к современному интегрированию, а именно — метод исчерпывания (methodus exhaustionis).
Он заключался в том, что в правильный круг вписывалась последовательность других фигур, с последующим определением предела их площадей. Прямая аналогия этим расчётам — нахождение предела бесконечной суммы с помощью интегрирования.
Изначально метод применялся только в геометрии, но затем нашёл применение в механике, экономике, астрономии и других науках. А его современное название — «интегрирование», возникло только в XVII веке: в ходе исследований европейских учёных Исаака Ньютона (Isaac Newton) и Готфрида Вильгельма Лейбница (Gottfried Wilhelm Leibniz). Интеграл начали применять в системах дифференциального исчисления, и он получил чёткое математическое определение — «первообразная функции».
Если говорить простыми словами, интеграл в геометрии — это площадь криволинейной фигуры. Неопределённый интеграл — это вся площадь целиком, а определённый — площадь в заданном участке. Соответственно, процесс нахождения производной называется дифференцированием, а нахождение первообразной — интегрированием.
Правила интегрирования функций
При работе с интегралами можно использовать формулы преобразования — при условии, что в них используется константа C. Она определяется, если известно значение интеграла в конкретной (произвольно взятой) точке.
Так как у каждой функции существует бесконечное количество первообразных, зная значение C, можно преобразовывать интегральные формулы следующими способами:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Преобразованию также поддаются интегралы от логарифмических и экспоненциальных функций:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
В тригонометрии применяются, как минимум, 15 формул преобразования интегралов, простейшими из которых являются:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
Аналогичные формулы существуют для секансов, косекансов, арктангенсов и так далее. Рассчитать их быстро (после подстановки переменных) сможет только компьютер, а точнее — специальное приложение с функцией интегрирования.
Чтобы быстро посчитать определённый или неопределённый интеграл, или первообразную функции, воспользуйтесь нашим калькулятором. В него достаточно подставить числовые значения и выбрать параметры вычисления. Результат будет отображён на экране за долю секунды, что избавит вас от необходимости проводить долгие и сложные расчёты.