Integrálová kalkulačka
![Integrálová kalkulačka](/media/images/integral_calculator.webp)
V matematickej analýze sa široko používa integrál – spojitá analógia súčtu, použiteľná na výpočet plôch, objemov, hmotností, vzdialeností a iných nekonštantných (premenných) veličín.
Napríklad rýchlosť vozidla, ktorá sa môže počas pohybu mnohokrát meniť, alebo frekvencia procesora, ktorý sa prispôsobuje vykonávaným výpočtovým procesom. Nie je možné opísať tieto veličiny ako pevnú hodnotu, pretože sa neustále menia v rozsahu od minima po maximum, ale dá sa to jednoducho urobiť pomocou integrálu.
V závislosti od toho, či má meraná veličina pevné limity, sa rozlišuje určitý a neurčitý integrál. Prvý ich má, ale druhý nie. Podstata integrácie zostáva rovnaká.
Zjednodušene povedané, ide o množinu operácií násobenia niekoľkých členov s ich následným sčítaním alebo súčet nekonečného počtu násobení vykonaných s nekonečne malými členmi. Dnes sa integrácia široko používa na:
- Nájdenie oblastí zložitých geometrických útvarov, pre ktoré nie je možné odvodiť konkrétny vzorec, ako napríklad S = a × b alebo S = π × r².
- Výpočet hmotností telies s nerovnomernou hustotou.
- Určenie prejdených vzdialeností pri rôznych rýchlostiach.
V matematike (a iných vedách) sa integrál označuje predĺženým písmenom ∫, odvodeným z latinského S (summa). V podstate je integrál súčtom mnohých násobených členov. Navyše, ideálna integrácia (bez chýb) môže byť vykonaná vo vzťahu ku konečným aj nekonečným množstvám.
História integrálneho počtu
Hoci samotný pojem „integrál“ ešte neexistoval, jeho princíp sa začal používať už v starovekom Grécku. Preto Archimedes použil na nájdenie oblasti kruhov metódu, ktorá sa čo najviac približovala modernej integrácii, konkrétne metódu vyčerpania.
Spočíva v tom, že do pravidelného kruhu umiestnite postupnosť ďalších figúrok, po čom nasledovalo určenie hranice ich plôch. Priama analógia k týmto výpočtom je nájdenie limitu nekonečného súčtu pomocou integrácie.
Spočiatku sa metóda používala iba v geometrii, ale potom našla uplatnenie v mechanike, ekonómii, astronómii a iných vedách. A jeho moderný názov „integrácia“ vznikol až v 17. storočí: počas výskumu európskych vedcov Isaaca Newtona a Gottfrieda Wilhelma Leibniza. Integrál sa začal používať v systémoch diferenciálneho počtu a dostal jasnú matematickú definíciu – „antiderivát funkcie“.
Zjednodušene povedané, integrál v geometrii je oblasť krivočiareho útvaru. Neurčitý integrál je celá plocha a určitý integrál je plocha v danej oblasti. V súlade s tým sa proces hľadania derivátu nazýva diferenciácia a nájdenie primitívneho prvku sa nazýva integrácia.
Pravidlá pre integráciu funkcií
Pri práci s integrálmi môžete použiť transformačné vzorce za predpokladu, že používajú konštantu C. Určuje sa, či je známa hodnota integrálu v konkrétnom (ľubovoľne zvolenom) bode.
Keďže každá funkcia má nekonečný počet primitívnych prvkov, pri znalosti hodnoty C môžete integrálne vzorce transformovať nasledujúcimi spôsobmi:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Integrály logaritmických a exponenciálnych funkcií možno tiež transformovať:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
V trigonometrii sa na transformáciu integrálov používa najmenej 15 vzorcov, z ktorých najjednoduchšie sú:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
Podobné vzorce existujú pre sekans, kosekans, arkustangens atď. Rýchlo ich (po dosadení premenných) dokáže vypočítať iba počítač, alebo skôr špeciálna aplikácia s integračnou funkciou.
Na rýchly výpočet určitého alebo neurčitého integrálu alebo primitívnej funkcie funkcie použite našu kalkulačku. Stačí do neho nahradiť číselné hodnoty a vybrať parametre výpočtu. Výsledok sa zobrazí na obrazovke v zlomku sekundy, čo vás ušetrí od nutnosti vykonávať dlhé a zložité výpočty.