Integralni kalkulator
![Integralni kalkulator](/media/images/integral_calculator.webp)
V matematični analizi se pogosto uporablja integral - zvezni analog vsote, ki se uporablja za izračun površin, prostornin, mas, razdalj in drugih nekonstantnih (spremenljivih) količin.
Na primer hitrost vozila, ki se lahko med premikanjem večkrat spremeni, ali frekvenca procesorja, ki se prilagaja računalniškim procesom, ki se izvajajo. Te količine je nemogoče opisati kot fiksno vrednost, saj se nenehno spreminjajo v območju od najmanjše do največje, vendar je to mogoče enostavno storiti z uporabo integrala.
Glede na to, ali ima merjena količina fiksne meje, ločimo določen in nedoločen integral. Prvi jih ima, drugi pa ne. Bistvo integracije ostaja enako.
Preprosto povedano, to je niz operacij množenja več členov z njihovim kasnejšim seštevanjem ali vsota neskončnega števila množenj, izvedenih z neskončno majhnimi členi. Današnja integracija se pogosto uporablja za:
- Iskanje območij kompleksnih geometrijskih likov, za katere je nemogoče izpeljati specifično formulo, kot je S = a × b ali S = π × r².
- Izračunavanje mase teles z neenakomerno gostoto.
- Določanje prevoženih razdalj pri različnih hitrostih.
V matematiki (in drugih vedah) se integral označuje s podaljšano črko ∫, ki izhaja iz latinskega S (summa). V bistvu je integral vsota številnih pomnoženih členov. Poleg tega je mogoče izvesti idealno integracijo (brez napak) tako v zvezi s končnimi kot neskončnimi količinami.
Zgodovina integralnega računa
Čeprav sam koncept "integrala" še ni obstajal, se je njegovo načelo začelo uporabljati že v stari Grčiji. Tako je Arhimed za iskanje območja krogov uporabil metodo, ki je bila čim bližje sodobni integraciji, in sicer metodo izčrpanja.
Vključevalo je prileganje zaporedja drugih likov v pravilen krog, čemur je sledila določitev meje njihovih površin. Neposredna analogija tem izračunom je iskanje meje neskončne vsote z integracijo.
Na začetku je bila metoda uporabljena samo v geometriji, nato pa je našla uporabo v mehaniki, ekonomiji, astronomiji in drugih vedah. In njegovo sodobno ime, "integracija", se je pojavilo šele v 17. stoletju: med raziskavami evropskih znanstvenikov Isaaca Newtona in Gottfrieda Wilhelma Leibniza. Integral so začeli uporabljati v sistemih diferencialnega računa in dobil je jasno matematično definicijo - "antiderivacija funkcije."
Preprosto povedano, integral v geometriji je območje krivulje. Nedoločeni integral je celotna ploščina, določeni integral pa ploščina v danem območju. V skladu s tem se postopek iskanja izpeljanke imenuje diferenciacija, iskanje antiizpeljave pa integracija.
Pravila za integracijo funkcij
Pri delu z integrali lahko uporabite transformacijske formule, pod pogojem, da uporabljajo konstanto C. Določi se, ali je znana vrednost integrala na določeni (poljubno vzeti) točki.
Ker ima vsaka funkcija neskončno število antiizpeljank, lahko, če poznate vrednost C, pretvorite integralne formule na naslednje načine:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Integrale logaritemskih in eksponentnih funkcij je mogoče tudi transformirati:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
V trigonometriji se uporablja vsaj 15 formul za transformacijo integralov, od katerih so najenostavnejše:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
Podobne formule obstajajo za sekanse, kosekanse, arktangente itd. Hitro (po zamenjavi spremenljivk) jih lahko izračuna le računalnik oziroma posebna aplikacija z integracijsko funkcijo.
Za hiter izračun določenega ali nedoločenega integrala ali protiodvoda funkcije uporabite naš kalkulator. Dovolj je, da vanj nadomestite številske vrednosti in izberete parametre izračuna. Rezultat bo prikazan na zaslonu v delčku sekunde, kar vam bo prihranilo dolgotrajne in zapletene izračune.