Integral (antiderivative) calculator
![Integral (antiderivative) calculator](/media/images/integral_calculator.webp)
Në analizën matematikore, integrali përdoret gjerësisht - një analog i vazhdueshëm i një shume, i zbatueshëm për llogaritjen e sipërfaqeve, vëllimeve, masave, distancave dhe sasive të tjera jo konstante (të ndryshueshme).
Për shembull, shpejtësia e një automjeti, e cila mund të ndryshojë shumë herë gjatë lëvizjes, ose frekuenca e një procesori, i cili përshtatet me proceset llogaritëse që kryhen. Është e pamundur të përshkruhen këto sasi si një vlerë fikse, pasi ato ndryshojnë vazhdimisht në intervalin nga minimumi në maksimum, por kjo mund të bëhet lehtësisht duke përdorur një integral.
Në varësi të faktit nëse madhësia e matur ka kufij të caktuar, dallohen një integral i caktuar dhe i pacaktuar. I pari i ka, por i dyti jo. Thelbi i integrimit mbetet i njëjtë.
Me fjalë të thjeshta, ky është një grup veprimesh të shumëzimit të disa termave me mbledhjen e tyre pasuese, ose shuma e një numri të pafund shumëzimesh të kryera me terma infiniteminale. Sot integrimi përdoret gjerësisht për:
- Gjetja e zonave të figurave komplekse gjeometrike për të cilat është e pamundur të nxirret një formulë specifike si S = a × b ose S = π × r².
- Llogaritja e masave të trupave me dendësi të pabarabartë.
- Përcaktimi i distancave të udhëtuara me shpejtësi të ndryshme.
Në matematikë (dhe shkenca të tjera), një integral shënohet me një shkronjë të zgjatur ∫, që rrjedh nga latinishtja S (summa). Në thelb, një integral është shuma e shumë termave të shumëzuar. Për më tepër, integrimi ideal (pa gabime) mund të kryhet në lidhje me sasitë e fundme dhe të pafundme.
Historia e llogaritjes integrale
Megjithëse vetë koncepti i "integralit" nuk ekzistonte ende, parimi i tij filloi të përdorej që në Greqinë e Lashtë. Kështu, Arkimedi përdori për të gjetur zonën e rrathëve një metodë që ishte sa më afër integrimit modern, përkatësisht metodën e shterimit.
Përbëhej nga vendosja e një sekuence figurash të tjera në një rreth të rregullt, e ndjekur nga përcaktimi i kufirit të zonave të tyre. Një analogji e drejtpërdrejtë me këto llogaritje është gjetja e kufirit të një shume të pafundme duke përdorur integrimin.
Fillimisht, metoda u përdor vetëm në gjeometri, por më pas gjeti zbatim në mekanikë, ekonomi, astronomi dhe shkenca të tjera. Dhe emri i tij modern, "integrim", u ngrit vetëm në shekullin e 17-të: gjatë hulumtimit të shkencëtarëve evropianë Isaac Newton dhe Gottfried Wilhelm Leibniz. Integrali filloi të përdoret në sistemet e llogaritjes diferenciale dhe mori një përkufizim të qartë matematikor - "antiderivativ i një funksioni".
Me fjalë të thjeshta, një integral në gjeometri është zona e një figure lakor. Integrali i pacaktuar është e gjithë zona, dhe integrali i caktuar është sipërfaqja në një zonë të caktuar. Prandaj, procesi i gjetjes së derivatit quhet diferencim, dhe gjetja e antiderivativit quhet integrim.
Rregullat për integrimin e funksioneve
Kur punoni me integrale, mund të përdorni formulat e transformimit, me kusht që ato të përdorin konstanten C. Përcaktohet nëse dihet vlera e integralit në një pikë specifike (të marrë në mënyrë arbitrare).
Meqenëse çdo funksion ka një numër të pafund antiderivativësh, duke ditur vlerën e C, ju mund të transformoni formulat integrale në mënyrat e mëposhtme:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Integralet e funksioneve logaritmike dhe eksponenciale mund të transformohen gjithashtu:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
Në trigonometri, përdoren të paktën 15 formula për transformimin e integraleve, nga të cilat më të thjeshtat janë:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
Formula të ngjashme ekzistojnë për sekantët, kosekantët, arktangentët, etj. Vetëm një kompjuter, ose më mirë një aplikacion i veçantë me një funksion integrimi, mund t'i llogarisë ato shpejt (pas zëvendësimit të variablave).
Për të llogaritur shpejt një integral të caktuar ose të pacaktuar, ose një antiderivativ të një funksioni, përdorni kalkulatorin tonë. Mjafton të zëvendësoni vlerat numerike në të dhe të zgjidhni parametrat e llogaritjes. Rezultati do të shfaqet në ekran në një pjesë të sekondës, gjë që do t'ju shpëtojë nga nevoja për të kryer llogaritje të gjata dhe komplekse.