Integralni kalkulator
U matematičkoj analizi široko se koristi integral – kontinualni analog zbira, primenljiv za izračunavanje površina, zapremina, masa, rastojanja i drugih nekonstantnih (promenljivih) veličina.
Na primer, brzina vozila, koja se može promeniti mnogo puta tokom kretanja, ili frekvencija procesora, koja se prilagođava procesima koji se izvršavaju. Nemoguće je opisati ove veličine kao fiksnu vrednost, jer se one stalno menjaju u opsegu od minimuma do maksimuma, ali se to lako može uraditi pomoću integrala.
U zavisnosti od toga da li merena veličina ima fiksne granice, razlikuju se definitivni i neodređeni integral. Prvi ih ima, a drugi nema. Suština integracije ostaje ista.
Jednostavno rečeno, ovo je skup operacija množenja nekoliko članova sa njihovim naknadnim sabiranjem, ili zbir beskonačnog broja množenja izvedenih sa beskonačno malim članovima. Danas se integracija široko koristi za:
- Pronalaženje oblasti složenih geometrijskih figura za koje je nemoguće izvesti konkretnu formulu kao što je S = a × b ili S = p × r².
- Proračun masa tela neujednačene gustine.
- Određivanje udaljenosti pređenih različitim brzinama.
U matematici (i drugim naukama), integral se označava izduženim slovom ∫, izvedenim od latinskog S (summa). U suštini, integral je zbir mnogih pomnoženih članova. Štaviše, idealna integracija (bez grešaka) se može izvršiti u odnosu na konačne i beskonačne veličine.
Istorija integralnog računa
Iako sam koncept „integralnog“ još nije postojao, njegov princip je počeo da se koristi još u staroj Grčkoj. Dakle, Arhimed je koristio da pronađe oblast krugova metodom koji je bio što bliži modernoj integraciji, odnosno metodom iscrpljivanja.
Sastojao se od uklapanja niza drugih figura u pravilan krug, nakon čega je usledilo određivanje granice njihovih površina. Direktna analogija sa ovim proračunima je pronalaženje granice beskonačnog zbira pomoću integracije.
U početku je metoda korišćena samo u geometriji, ali je potom našla primenu u mehanici, ekonomiji, astronomiji i drugim naukama. A njen savremeni naziv, „integracija“, pojavio se tek u 17. veku: tokom istraživanja evropskih naučnika Isaka Njutna i Gotfrida Vilhelma Lajbnica. Integral je počeo da se koristi u sistemima diferencijalnog računa i dobio je jasnu matematičku definiciju - „antiderivat funkcije.“
Jednostavno rečeno, integral u geometriji je površina krivolinijske figure. Neodređeni integral je cela površina, a određeni integral je površina u datoj oblasti. Shodno tome, proces pronalaženja derivata naziva se diferencijacija, a pronalaženje antiderivata se naziva integracija.
Pravila za integraciju funkcija
Kada radite sa integralima, možete koristiti formule transformacije, pod uslovom da koriste konstantu C. Određuje se da li je poznata vrednost integrala u određenoj (proizvoljno uzetoj) tački.
Pošto svaka funkcija ima beskonačan broj antiderivata, znajući vrednost C, možete transformisati integralne formule na sledeće načine:
- ∫Sf(k)dk = C∫f(k)dk.
- ∫f(k) + g(k)dk = ∫f(k)dk + ∫g(k)dk.
- ∫f(k)g(k)dk = f(k)∫g(k)dk − ∫(∫g(k)dk)df(k).
- ∫f(ak + b)dk = (1/a)F(ak + b) + C.
Integrali logaritamskih i eksponencijalnih funkcija takođe se mogu transformisati:
- ∫lnkdk = klnk − k + C.
- ∫(dk/klnk) = ln|lnk| + C.
- ∫logₐkdk = klogₐk − k logₐe + C = k((lnk−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdk = eⁿ + C.
- ∫aⁿdk = aⁿ/lna + C.
U trigonometriji se koristi najmanje 15 formula za transformisanje integrala, od kojih su najjednostavnije:
- ∫sinkdk = −cosk + C.
- ∫coskdk = sink + C.
- ∫tgkdk = −ln|cosk| + C.
Slične formule postoje za sekante, kosekanse, arktangente i tako dalje. Samo računar, odnosno posebna aplikacija sa funkcijom integracije, može ih brzo izračunati (nakon zamene promenljivih).
Da biste brzo izračunali određeni ili neodređeni integral, ili antiderivat funkcije, koristite naš kalkulator. Dovoljno je da u njega zamenite numeričke vrednosti i izaberete parametre proračuna. Rezultat će biti prikazan na ekranu u deliću sekunde, što će vas uštedeti od potrebe za dugim i složenim proračunima.
