Integralkalkylator
![Integralkalkylator](/media/images/integral_calculator.webp)
I matematisk analys används integralen flitigt - en kontinuerlig analog av en summa, tillämplig för beräkning av ytor, volymer, massor, avstånd och andra icke-konstanta (föränderliga) storheter.
Till exempel hastigheten för ett fordon, som kan ändras många gånger under rörelse, eller frekvensen för en processor, som anpassar sig till de beräkningsprocesser som utförs. Det är omöjligt att beskriva dessa kvantiteter som ett fast värde, eftersom de hela tiden ändras i intervallet från minimum till maximum, men detta kan enkelt göras med hjälp av en integral.
Beroende på om den uppmätta storheten har fasta gränser, särskiljs en bestämd och obestämd integral. Den första har dem, men den andra inte. Kärnan i integrationen förblir densamma.
I enkla termer är detta en uppsättning operationer för multiplikation av flera termer med efterföljande summering, eller summan av ett oändligt antal multiplikationer utförda med infinitesimala termer. Idag används integration i stor utsträckning för:
- Hitta områden av komplexa geometriska figurer för vilka det är omöjligt att härleda en specifik formel som S = a × b eller S = π × r².
- Beräkning av massor av kroppar med ojämn densitet.
- Bestämning av tillryggalagda sträckor med varierande hastighet.
Inom matematik (och andra vetenskaper) betecknas en integral med en långsträckt bokstav ∫, härledd från latinets S (summa). I huvudsak är en integral summan av många multiplicerade termer. Dessutom kan ideal integration (utan fel) utföras i relation till både ändliga och oändliga kvantiteter.
Historik för integralkalkyl
Även om själva begreppet "integral" ännu inte existerade, började dess princip användas redan i antikens Grekland. Således använde Arkimedes för att hitta området med cirklar en metod som var så nära modern integration som möjligt, nämligen utmattningsmetoden.
Det bestod i att passa in en sekvens av andra figurer i en regelbunden cirkel, följt av att bestämma gränsen för deras områden. En direkt analogi till dessa beräkningar är att hitta gränsen för en oändlig summa med hjälp av integration.
Initialt användes metoden endast inom geometri, men fann sedan tillämpning inom mekanik, ekonomi, astronomi och andra vetenskaper. Och dess moderna namn, "integration", uppstod först på 1600-talet: under forskningen av de europeiska forskarna Isaac Newton och Gottfried Wilhelm Leibniz. Integralen började användas i differentialkalkylsystem, och den fick en tydlig matematisk definition - "antiderivata av en funktion."
I enkla termer är en integral i geometri arean av en kurvlinjär figur. Den obestämda integralen är hela arean, och den bestämda integralen är arean i ett givet område. Följaktligen kallas processen att hitta derivatan differentiering och att hitta antiderivatan kallas integration.
Regler för att integrera funktioner
När du arbetar med integraler kan du använda transformationsformler, förutsatt att de använder konstanten C. Det bestäms om värdet på integralen vid en specifik (godtyckligt tagen) punkt är känt.
Eftersom varje funktion har ett oändligt antal antiderivator kan du transformera integralformler på följande sätt, eftersom du känner till värdet på C:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Integraler av logaritmiska och exponentiella funktioner kan också transformeras:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
Inom trigonometri används minst 15 formler för att transformera integraler, varav de enklaste är:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
Liknande formler finns för sekanter, cosekanter, arktangenter och så vidare. Endast en dator, eller snarare en speciell applikation med en integrationsfunktion, kan beräkna dem snabbt (efter att ha ersatt variabler).
För att snabbt beräkna en bestämd eller obestämd integral, eller en antiderivata av en funktion, använd vår kalkylator. Det räcker med att ersätta numeriska värden i det och välja beräkningsparametrar. Resultatet kommer att visas på skärmen på en bråkdel av en sekund, vilket kommer att rädda dig från behovet av att utföra långa och komplexa beräkningar.