เครื่องคำนวณปริพันธ์
ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ อินทิกรัลถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลาย - อะนาล็อกต่อเนื่องของผลรวม ใช้สำหรับการคำนวณพื้นที่ ปริมาตร มวล ระยะทาง และปริมาณอื่นๆ ที่ไม่คงที่ (เปลี่ยนแปลงได้)
ตัวอย่างเช่น ความเร็วของยานพาหนะซึ่งสามารถเปลี่ยนแปลงได้หลายครั้งในขณะเคลื่อนที่ หรือความถี่ของโปรเซสเซอร์ ซึ่งปรับให้เข้ากับกระบวนการคำนวณที่กำลังดำเนินการ เป็นไปไม่ได้ที่จะอธิบายปริมาณเหล่านี้เป็นค่าคงที่ เนื่องจากปริมาณเหล่านี้เปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องในช่วงจากต่ำสุดไปสูงสุด แต่สามารถทำได้ง่ายๆ โดยใช้อินทิกรัล
ขึ้นอยู่กับว่าปริมาณที่วัดได้มีขีดจำกัดคงที่หรือไม่ อินทิกรัลแบบจำกัดและไม่แน่นอนจะถูกแยกความแตกต่าง อันแรกมี แต่อันที่สองไม่มี สาระสำคัญของการบูรณาการยังคงเหมือนเดิม
พูดง่ายๆ คือชุดการดำเนินการของการคูณพจน์หลายพจน์ด้วยการบวกที่ตามมา หรือผลรวมของจำนวนอนันต์ของการคูณด้วยพจน์ที่น้อยกว่า การบูรณาการในปัจจุบันมีการใช้กันอย่างแพร่หลายสำหรับ:
- การค้นหาพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนซึ่งไม่สามารถหาสูตรเฉพาะได้ เช่น S = a × b หรือ S = π × r²
- การคำนวณมวลของร่างกายที่มีความหนาแน่นไม่เท่ากัน
- การกำหนดระยะทางที่เดินทางด้วยความเร็วที่แตกต่างกัน
ในทางคณิตศาสตร์ (และวิทยาศาสตร์อื่นๆ) อินทิกรัลจะแสดงด้วยตัวอักษรยาว ∫ ซึ่งมาจากภาษาละติน S (summa) โดยพื้นฐานแล้ว อินทิกรัลคือผลรวมของพจน์ที่คูณหลายพจน์ ยิ่งไปกว่านั้น การบูรณาการในอุดมคติ (โดยไม่มีข้อผิดพลาด) สามารถดำเนินการได้โดยสัมพันธ์กับทั้งปริมาณที่มีจำกัดและไม่จำกัด
ประวัติความเป็นมาของแคลคูลัสอินทิกรัล
แม้ว่าแนวคิดเรื่อง "อินทิกรัล" ยังไม่มีอยู่จริง แต่หลักการนี้เริ่มถูกนำมาใช้ในสมัยกรีกโบราณ ดังนั้น อาร์คิมิดีสจึงเคยค้นหาพื้นที่ของวงกลมด้วยวิธีการที่ใกล้เคียงกับการบูรณาการสมัยใหม่มากที่สุด นั่นคือ วิธีหมดแรง
ประกอบด้วยการจัดลำดับของรูปอื่นๆ ให้เป็นวงกลมปกติ ตามด้วยการกำหนดขอบเขตของพื้นที่ การเปรียบเทียบโดยตรงกับการคำนวณเหล่านี้คือการค้นหาขีดจำกัดของผลรวมอนันต์โดยใช้การอินทิเกรต
ในตอนแรก วิธีการนี้ใช้ในเรขาคณิตเท่านั้น แต่ต่อมาพบการประยุกต์ใช้ในกลศาสตร์ เศรษฐศาสตร์ ดาราศาสตร์ และวิทยาศาสตร์อื่นๆ และชื่อสมัยใหม่ว่า "บูรณาการ" เกิดขึ้นเฉพาะในศตวรรษที่ 17 ในระหว่างการวิจัยของนักวิทยาศาสตร์ชาวยุโรป Isaac Newton และ Gottfried Wilhelm Leibniz อินทิกรัลเริ่มถูกนำมาใช้ในระบบแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ และได้รับคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ที่ชัดเจน - “แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน”
พูดง่ายๆ คือ อินทิกรัลในเรขาคณิตคือพื้นที่ของรูปทรงโค้ง อินทิกรัลไม่จำกัดคือพื้นที่ทั้งหมด และอินทิกรัลจำกัดเขตคือพื้นที่ในพื้นที่ที่กำหนด ดังนั้น กระบวนการค้นหาอนุพันธ์จึงเรียกว่าการหาอนุพันธ์ และการค้นหาสารต้านอนุพันธ์เรียกว่าอินทิเกรต
กฎสำหรับการรวมฟังก์ชัน
เมื่อทำงานกับปริพันธ์ คุณสามารถใช้สูตรการแปลงได้ โดยมีเงื่อนไขว่าสูตรจะใช้ค่าคงที่ C ซึ่งจะถูกกำหนดหากทราบค่าของปริพันธ์ที่จุดเฉพาะ (รับโดยพลการ)
เนื่องจากแต่ละฟังก์ชันมีจำนวนแอนติเดริเวทีฟไม่จำกัด เมื่อทราบค่า C คุณจึงสามารถแปลงสูตรอินทิกรัลได้ด้วยวิธีต่อไปนี้:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x)
- ∫f(ขวาน + ข)dx = (1/a)F(ขวาน + ข) + C
ปริพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมและฟังก์ชันเลขชี้กำลังยังสามารถแปลงได้:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + ค.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
ในวิชาตรีโกณมิติ มีการใช้สูตรสำหรับการแปลงปริพันธ์อย่างน้อย 15 สูตร สูตรที่ง่ายที่สุดคือ:
- ∫sinxdx = −cosx + C
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + ค.
มีสูตรที่คล้ายกันสำหรับเซแคนต์ โคซีแคนต์ อาร์กแทนเจนต์ และอื่นๆ มีเพียงคอมพิวเตอร์หรือแอปพลิเคชันพิเศษที่มีฟังก์ชันบูรณาการเท่านั้นที่สามารถคำนวณได้อย่างรวดเร็ว (หลังจากแทนที่ตัวแปรแล้ว)
หากต้องการคำนวณอินทิกรัลแบบจำกัดหรือไม่จำกัด หรือแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันอย่างรวดเร็ว ให้ใช้เครื่องคิดเลขของเรา ก็เพียงพอที่จะทดแทนค่าตัวเลขและเลือกพารามิเตอร์การคำนวณ ผลลัพธ์จะปรากฏบนหน้าจอในเสี้ยววินาที ซึ่งจะช่วยให้คุณไม่ต้องคำนวณที่ซับซ้อนและยาวนาน
