Calculator ng integral
Sa mathematical analysis, malawakang ginagamit ang integral - isang tuluy-tuloy na analogue ng isang sum, na naaangkop para sa pagkalkula ng mga lugar, volume, masa, distansya at iba pang hindi pare-pareho (nababago) na dami.
Halimbawa, ang bilis ng isang sasakyan, na maaaring magbago ng maraming beses habang gumagalaw, o ang dalas ng isang processor, na umaangkop sa mga proseso ng computational na ginagawa. Imposibleng ilarawan ang mga dami na ito bilang isang nakapirming halaga, dahil patuloy na nagbabago ang mga ito sa hanay mula sa minimum hanggang sa maximum, ngunit madali itong magawa gamit ang isang integral.
Depende sa kung ang sinusukat na dami ay may mga nakapirming limitasyon, ang isang tiyak at hindi tiyak na integral ay nakikilala. Ang una ay mayroon sila, ngunit ang pangalawa ay wala. Ang esensya ng pagsasama ay nananatiling pareho.
Sa simpleng mga termino, ito ay isang hanay ng mga operasyon ng pagpaparami ng ilang termino sa kanilang kasunod na pagsusuma, o ang kabuuan ng isang walang-katapusang bilang ng mga multiplikasyon na ginawa gamit ang mga terminong napakaliit. Ngayon ang integration ay malawakang ginagamit para sa:
- Paghahanap ng mga lugar ng kumplikadong geometric figure kung saan imposibleng makakuha ng partikular na formula tulad ng S = a × b o S = π × r².
- Pagkalkula ng masa ng mga katawan na may hindi pantay na density.
- Pagpapasiya ng mga distansyang nilakbay sa iba't ibang bilis.
Sa matematika (at iba pang mga agham), ang isang integral ay tinutukoy ng isang pinahabang titik ∫, na nagmula sa Latin na S (summa). Sa esensya, ang integral ay ang kabuuan ng maraming pinarami na termino. Bukod dito, ang perpektong pagsasama-sama (nang walang mga error) ay maaaring isagawa kaugnay sa parehong may hangganan at walang katapusan na dami.
Kasaysayan ng integral calculus
Bagaman ang mismong konsepto ng "integral" ay hindi pa umiiral, ang prinsipyo nito ay nagsimulang gamitin noong Sinaunang Greece. Kaya, ginamit ni Archimedes upang mahanap ang lugar ng mga lupon ng isang paraan na mas malapit hangga't maaari sa modernong pagsasama, katulad ng paraan ng pagkaubos.
Ito ay binubuo sa paglalagay ng pagkakasunod-sunod ng iba pang mga figure sa isang regular na bilog, na sinusundan ng pagtukoy sa limitasyon ng kanilang mga lugar. Ang isang direktang pagkakatulad sa mga kalkulasyong ito ay ang paghahanap ng limitasyon ng isang walang katapusang kabuuan gamit ang pagsasama.
Sa una, ang pamamaraan ay ginamit lamang sa geometry, ngunit pagkatapos ay natagpuan ang aplikasyon sa mechanics, economics, astronomy at iba pang mga agham. At ang modernong pangalan nito, "pagsasama," ay lumitaw lamang noong ika-17 siglo: sa panahon ng pagsasaliksik ng mga siyentipikong Europeo na sina Isaac Newton at Gottfried Wilhelm Leibniz. Nagsimulang gamitin ang integral sa mga differential calculus system, at nakatanggap ito ng malinaw na depinisyon sa matematika - "antiderivative ng isang function."
Sa simpleng mga termino, ang isang integral sa geometry ay ang lugar ng isang curvilinear figure. Ang hindi tiyak na integral ay ang buong lugar, at ang tiyak na integral ay ang lugar sa isang partikular na lugar. Alinsunod dito, ang proseso ng paghahanap ng derivative ay tinatawag na differentiation, at ang paghahanap ng antiderivative ay tinatawag na integration.
Mga panuntunan para sa pagsasama ng mga function
Kapag nagtatrabaho sa mga integral, maaari kang gumamit ng mga formula ng pagbabagong-anyo, sa kondisyon na ginagamit ng mga ito ang pare-parehong C. Ito ay tinutukoy kung ang halaga ng integral sa isang partikular na (arbitraryong kinuha) na punto ay kilala.
Dahil ang bawat function ay may walang katapusang bilang ng mga antiderivative, na nalalaman ang halaga ng C, maaari mong baguhin ang mga integral na formula sa mga sumusunod na paraan:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Maaari ding baguhin ang mga pinagsama-samang logarithmic at exponential function:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
Sa trigonometrya, hindi bababa sa 15 formula para sa pagbabago ng mga integral ang ginagamit, ang pinakasimple ay:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
May mga katulad na formula para sa secants, cosecants, arctangent, at iba pa. Isang computer lang, o sa halip, isang espesyal na application na may function ng integration, ang makakakalkula ng mga ito nang mabilis (pagkatapos palitan ang mga variable).
Upang mabilis na makalkula ang isang tiyak o hindi tiyak na integral, o isang antiderivative ng isang function, gamitin ang aming calculator. Ito ay sapat na upang palitan ang mga numerical na halaga dito at piliin ang mga parameter ng pagkalkula. Ang resulta ay ipapakita sa screen sa loob ng ilang segundo, na magliligtas sa iyo mula sa pangangailangang magsagawa ng mahaba at kumplikadong mga kalkulasyon.
