İntegral hesaplayıcı
![İntegral hesaplayıcı](/media/images/integral_calculator.webp)
Matematiksel analizde integral yaygın olarak kullanılır; alanların, hacimlerin, kütlelerin, mesafelerin ve diğer sabit olmayan (değişebilen) büyüklüklerin hesaplanmasında geçerli olan bir toplamın sürekli bir analoğudur.
Örneğin, hareket halindeyken birçok kez değişebilen bir aracın hızı veya gerçekleştirilen hesaplamalı işlemlere uyum sağlayan bir işlemcinin frekansı. Bu büyüklükleri sabit bir değer olarak tanımlamak imkansızdır çünkü bunlar minimumdan maksimuma doğru sürekli değişmektedir ancak bu bir integral kullanılarak kolaylıkla yapılabilir.
Ölçülen büyüklüğün sabit sınırları olup olmamasına bağlı olarak belirli ve belirsiz integral ayırt edilir. İlkinde bunlar var ama ikincisinde yok. Entegrasyonun özü aynı kalıyor.
Basit bir ifadeyle, bu, birkaç terimin çarpımıyla sonraki toplamlarının bir dizi işlemi veya sonsuz küçük terimlerle gerçekleştirilen sonsuz sayıda çarpma işleminin toplamıdır. Günümüzde entegrasyon aşağıdaki amaçlarla yaygın olarak kullanılmaktadır:
- S = a × b veya S = π × r² gibi belirli bir formül türetmenin imkansız olduğu karmaşık geometrik şekillerin alanlarını bulma.
- Eşit olmayan yoğunluğa sahip cisimlerin kütlelerinin hesaplanması.
- Değişken hızlarda kat edilen mesafelerin belirlenmesi.
Matematikte (ve diğer bilimlerde), bir integral, Latince S'den (toplam) türetilen uzun bir ∫ harfiyle gösterilir. Temelde bir integral, birçok çarpılan terimin toplamıdır. Üstelik hem sonlu hem de sonsuz niceliklere ilişkin ideal entegrasyon (hatasız) gerçekleştirilebilir.
İntegral hesabının tarihi
“İntegral” kavramı henüz mevcut olmasa da prensibi Antik Yunan'da kullanılmaya başlandı. Böylece Arşimet, dairelerin alanını bulmak için modern entegrasyona mümkün olduğu kadar yakın bir yöntem olan tükenme yöntemini kullanırdı.
Bu, diğer şekillerin bir dizisini düzenli bir daireye yerleştirmeyi ve ardından alanlarının sınırını belirlemeyi içeriyordu. Bu hesaplamalara doğrudan bir benzetme, integrali kullanarak sonsuz bir toplamın limitini bulmaktır.
Başlangıçta bu yöntem yalnızca geometride kullanıldı, ancak daha sonra mekanik, ekonomi, astronomi ve diğer bilimlerde uygulama alanı buldu. Ve modern adı olan “entegrasyon” ancak 17. yüzyılda Avrupalı bilim adamları Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz'in araştırmaları sırasında ortaya çıktı. İntegral diferansiyel hesaplama sistemlerinde kullanılmaya başlandı ve açık bir matematiksel tanım aldı: "bir fonksiyonun terstürevi."
Basit bir ifadeyle geometrideki bir integral, eğrisel bir şeklin alanıdır. Belirsiz integral alanın tamamı, belirli integral ise belirli bir alandaki alandır. Buna göre türevi bulma işlemine farklılaşma, ters türevi bulma işlemine ise entegrasyon adı verilir.
Fonksiyonları entegre etmeye ilişkin kurallar
İntegrallerle çalışırken C sabitini kullanmak şartıyla dönüşüm formüllerini kullanabilirsiniz. Belirli (keyfi olarak alınan) bir noktadaki integralin değerinin bilinip bilinmediği belirlenir.
Her fonksiyonun sonsuz sayıda antiderivatifi olduğundan, C'nin değerini bilerek integral formüllerini aşağıdaki yollarla dönüştürebilirsiniz:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Logaritmik ve üstel fonksiyonların integralleri de dönüştürülebilir:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
Trigonometride integralleri dönüştürmek için en az 15 formül kullanılır; bunların en basitleri şunlardır:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
Sekantlar, kosekantlar, arktanjantlar vb. için benzer formüller mevcuttur. Yalnızca bir bilgisayar veya daha doğrusu entegrasyon işlevine sahip özel bir uygulama bunları hızlı bir şekilde hesaplayabilir (değişkenleri değiştirdikten sonra).
Belirli veya belirsiz bir integrali veya bir fonksiyonun antitürevini hızlı bir şekilde hesaplamak için hesap makinemizi kullanın. Sayısal değerleri içine koymak ve hesaplama parametrelerini seçmek yeterlidir. Sonuç, saniyenin kısa bir süresinde ekranda görüntülenecek ve bu da sizi uzun ve karmaşık hesaplamalar yapma ihtiyacından kurtaracak.