Інтегральний калькулятор
![Інтегральний калькулятор](/media/images/integral_calculator.webp)
У математичному аналізі широко застосовується інтеграл — безперервний аналог суми, що застосовується для обчислення площ, об'ємів, мас, відстаней та інших непостійних (мінливих) величин.
Наприклад, швидкість транспорту, яка може багаторазово змінюватися під час руху, або частота роботи процесора, яка підлаштовується під обчислювальні процеси, що виконуються. Описати ці величини у вигляді фіксованого значення неможливо, оскільки вони змінюються в інтервалі від мінімуму до максимуму, але це можна легко зробити за допомогою інтеграла.
Залежно від того, чи є у вимірюваної величини фіксовані межі, розрізняють певний та невизначений інтеграл. У першого вони є, а у другого відсутні. Суть інтегрування при цьому залишається однаковою.
Говорячи простою мовою, це безліч операцій множення кількох доданків з їх подальшим підсумовуванням, або сума нескінченної кількості множень, проведених з нескінченно малими доданками. Сьогодні інтегрування повсюдно застосовують для:
- Знаходження площ складних геометричних фігур, для яких неможливо вивести конкретну формулу типу S = a × b або S = π × r².
- Обчислення мас тіл, що мають нерівномірну щільність.
- Визначення пройдених відстаней із мінливою швидкістю.
У математиці (та інших науках) інтеграл позначається витягнутою літерою ∫, що походить від латинської S (summa). По суті, інтеграл це і є сума безлічі перемножених доданків. До того ж, ідеальне інтегрування (без похибок) можна проводити як кінцевих, так і нескінченних величин.
Історія інтегрального обчислення
Хоча самого поняття «інтеграл» тоді ще не існувало, його принцип почали використовувати ще у Стародавній Греції. Так, Архімед застосовував для знаходження площі кіл метод, максимально наближений до сучасного інтегрування, а саме — метод вичерпування.
Він полягав у тому, що у правильне коло вписувалася послідовність інших фігур, з наступним визначенням межі їхніх площ. Пряма аналогія до цих розрахунків — знаходження межі нескінченної суми за допомогою інтегрування.
Спочатку метод застосовувався лише у геометрії, але потім знайшов застосування у механіці, економіці, астрономії та інших науках. А його сучасна назва — «інтегрування», виникла лише в XVII столітті: під час досліджень європейських вчених Ісаака Ньютона (Isaac Newton) та Готфріда Вільгельма Лейбніца (Gottfried Wilhelm Leibniz). Інтеграл почали застосовувати в системах диференціального обчислення, і він отримав чітке математичне визначення — «первоподібні функції».
Якщо говорити простими словами, інтеграл у геометрії — це площа криволінійної постаті. Невизначений інтеграл - це вся площа цілком, а певний - площа у заданій ділянці. Відповідно, процес знаходження похідної називається диференціюванням, а знаходження первісної — інтегруванням.
Правила інтегрування функцій
Під час роботи з інтегралами можна використовувати формули перетворення — за умови, що в них використовується константа C. Вона визначається, якщо відомо значення інтеграла в конкретній (довільно взятій) точці.
Оскільки кожна функція має безліч первісних, знаючи значення C, можна перетворювати інтегральні формули такими способами:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Перетворенню також піддаються інтеграли від логарифмічних та експоненційних функцій:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
У тригонометрії застосовуються щонайменше 15 формул перетворення інтегралів, найпростішими з яких є:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
Аналогічні формули існують для секансів, косекансів, арктангенсів і таке інше. Розрахувати їх швидко (після підстановки змінних) зможе лише комп'ютер, а точніше — спеціальний додаток із функцією інтегрування.
Щоб швидко порахувати певний або невизначений інтеграл, або першорядну функцію, скористайтеся нашим калькулятором. У нього достатньо підставити числові значення та вибрати параметри обчислення. Результат буде відображений на екрані за секунду, що позбавить вас необхідності проводити довгі і складні розрахунки.