انٹیگرل کیلکولیٹر
ریاضیاتی تجزیہ میں، انٹیگرل کا وسیع پیمانے پر استعمال کیا جاتا ہے - ایک رقم کا ایک مسلسل اینالاگ، جو علاقوں، حجموں، کمیتوں، فاصلوں اور دیگر غیر مستقل (تبدیلی) مقداروں کا حساب لگانے کے لیے لاگو ہوتا ہے۔
مثال کے طور پر، گاڑی کی رفتار، جو چلتے ہوئے کئی بار تبدیل ہو سکتی ہے، یا پروسیسر کی فریکوئنسی، جو کمپیوٹیشنل پروسیسز کو انجام دے رہی ہے۔ ان مقداروں کو ایک مقررہ قدر کے طور پر بیان کرنا ناممکن ہے، کیونکہ یہ کم سے کم سے زیادہ سے زیادہ کی حد میں مسلسل تبدیل ہوتی رہتی ہیں، لیکن یہ ایک انٹیگرل کا استعمال کرتے ہوئے آسانی سے کیا جا سکتا ہے۔
اس بات پر منحصر ہے کہ آیا ناپی جانے والی مقدار کی مقررہ حدیں ہیں، ایک قطعی اور غیر معینہ انٹیگرل میں فرق کیا جاتا ہے۔ پہلی کے پاس وہ ہیں، لیکن دوسرے کے پاس نہیں ہے۔ انضمام کا جوہر وہی رہتا ہے۔
سادہ الفاظ میں، یہ کئی اصطلاحات کے ان کے بعد کے مجموعے کے ساتھ ضرب کی کارروائیوں کا مجموعہ ہے، یا لامحدود اصطلاحات کے ساتھ انجام دی جانے والی لامحدود تعداد میں ضرب کا مجموعہ ہے۔ آج انضمام کے لیے بڑے پیمانے پر استعمال کیا جاتا ہے:
- پیچیدہ ہندسی اعداد و شمار کے ان علاقوں کو تلاش کرنا جن کے لیے S = a × b یا S = π × r² جیسا مخصوص فارمولا اخذ کرنا ناممکن ہے۔
- غیر مساوی کثافت والے اجسام کے بڑے پیمانے کا حساب۔
- مختلف رفتار سے طے شدہ فاصلوں کا تعین۔
ریاضی (اور دیگر علوم) میں، ایک انٹیگرل کو ایک لمبا خط ∫ سے ظاہر کیا جاتا ہے، جو لاطینی S (summa) سے ماخوذ ہے۔ جوہر میں، ایک انٹیگرل کئی ضرب شدہ اصطلاحات کا مجموعہ ہے۔ مزید برآں، مثالی انضمام (بغیر غلطیوں کے) محدود اور لامحدود دونوں مقداروں کے سلسلے میں کیا جا سکتا ہے۔
انٹیگرل کیلکولس کی تاریخ
اگرچہ "انٹیگرل" کا تصور ابھی تک موجود نہیں تھا، لیکن اس کا اصول قدیم یونان میں دوبارہ استعمال ہونے لگا۔ اس طرح، آرکیمیڈیز حلقوں کے رقبے کو ایک ایسا طریقہ تلاش کرتا تھا جو جدید انضمام کے زیادہ سے زیادہ قریب تھا، یعنی تھکن کا طریقہ۔
اس میں دیگر اعداد و شمار کی ترتیب کو باقاعدہ دائرے میں فٹ کرنے پر مشتمل تھا، اس کے بعد ان کے علاقوں کی حد کا تعین کیا جاتا ہے۔ ان حسابات سے براہ راست مشابہت انضمام کا استعمال کرتے ہوئے لامحدود رقم کی حد تلاش کرنا ہے۔
ابتدائی طور پر، یہ طریقہ صرف جیومیٹری میں استعمال ہوتا تھا، لیکن پھر میکانکس، معاشیات، فلکیات اور دیگر علوم میں اس کا اطلاق پایا گیا۔ اور اس کا جدید نام، "انضمام" صرف 17ویں صدی میں پیدا ہوا: یورپی سائنسدانوں آئزک نیوٹن اور گوٹ فرائیڈ ولہیم لیبنز کی تحقیق کے دوران۔ انٹیگرل کو ڈفرینشل کیلکولس سسٹمز میں استعمال کیا جانا شروع ہوا، اور اس نے ایک واضح ریاضیاتی تعریف حاصل کی - "کسی فنکشن کا مخالف۔"
سادہ الفاظ میں، جیومیٹری میں ایک انٹیگرل ایک منحنی شکل کا رقبہ ہے۔ غیر معینہ انٹیگرل پورا علاقہ ہے، اور قطعی انٹیگرل کسی مخصوص علاقے کا رقبہ ہے۔ اس کے مطابق، مشتق کو تلاش کرنے کے عمل کو تفریق کہا جاتا ہے، اور اینٹی ڈیریویٹیو کو تلاش کرنا انضمام کہلاتا ہے۔
فنکشنز کو مربوط کرنے کے اصول
انٹیگرل کے ساتھ کام کرتے وقت، آپ ٹرانسفارمیشن فارمولے استعمال کر سکتے ہیں، بشرطیکہ وہ مستقل C استعمال کریں۔ یہ طے کیا جاتا ہے کہ آیا کسی مخصوص (من مانی طور پر لیے گئے) پوائنٹ پر انٹیگرل کی قدر معلوم ہے۔
چونکہ ہر فنکشن میں اینٹی ڈیریویٹوز کی لامحدود تعداد ہوتی ہے، اس لیے C کی قدر جانتے ہوئے، آپ انٹیگرل فارمولوں کو درج ذیل طریقوں سے تبدیل کر سکتے ہیں:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx۔
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx۔
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x)۔
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
لوگارتھمک اور ایکسپونیشنل فنکشنز کے انٹیگرلز کو بھی تبدیل کیا جا سکتا ہے:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C۔
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
ٹرگنومیٹری میں، انٹیگرلز کو تبدیل کرنے کے لیے کم از کم 15 فارمولے استعمال کیے جاتے ہیں، جن میں سے سب سے آسان یہ ہیں:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
اسی طرح کے فارمولے secants، cosecants، arctangents، وغیرہ کے لیے موجود ہیں۔ صرف ایک کمپیوٹر، یا انٹیگریشن فنکشن کے ساتھ ایک خاص ایپلی کیشن، ان کا تیزی سے حساب کر سکتی ہے (متغیرات کو تبدیل کرنے کے بعد)۔
کسی حتمی یا غیر معینہ انٹیگرل، یا کسی فنکشن کے اینٹی ڈیریویٹیو کا فوری حساب لگانے کے لیے، ہمارا کیلکولیٹر استعمال کریں۔ اس میں عددی اقدار کو تبدیل کرنا اور حساب کے پیرامیٹرز کو منتخب کرنا کافی ہے۔ نتیجہ ایک تقسیم سیکنڈ میں اسکرین پر ظاہر ہوگا، جو آپ کو طویل اور پیچیدہ حساب کتاب کرنے کی ضرورت سے بچائے گا۔