Máy tính tích phân
![Máy tính tích phân](/media/images/integral_calculator.webp)
Trong phân tích toán học, tích phân được sử dụng rộng rãi - một dạng tương tự liên tục của tổng, áp dụng để tính diện tích, thể tích, khối lượng, khoảng cách và các đại lượng không đổi (có thể thay đổi) khác.
Ví dụ: tốc độ của một chiếc xe có thể thay đổi nhiều lần khi di chuyển hoặc tần số của bộ xử lý thích ứng với các quá trình tính toán đang được thực hiện. Không thể mô tả các đại lượng này như một giá trị cố định vì chúng liên tục thay đổi trong phạm vi từ tối thiểu đến tối đa, nhưng điều này có thể dễ dàng thực hiện bằng cách sử dụng tích phân.
Tùy thuộc vào việc đại lượng đo có giới hạn cố định hay không mà phân biệt tích phân xác định và không xác định. Cái đầu tiên có chúng, nhưng cái thứ hai thì không. Bản chất của hội nhập vẫn như cũ.
Nói một cách đơn giản, đây là một tập hợp các phép nhân của một số số hạng với tổng tiếp theo của chúng hoặc tổng của vô số phép nhân được thực hiện với các số hạng vô cùng nhỏ. Ngày nay việc tích hợp được sử dụng rộng rãi cho:
- Tìm diện tích của các hình hình học phức tạp không thể suy ra công thức cụ thể như S = a × b hoặc S = π × r².
- Tính khối lượng của các vật có mật độ không đồng đều.
- Xác định khoảng cách đã di chuyển ở các tốc độ khác nhau.
Trong toán học (và các ngành khoa học khác), tích phân được biểu thị bằng chữ cái kéo dài ∫, bắt nguồn từ chữ Latin S (summa). Về bản chất, tích phân là tổng của nhiều số hạng được nhân. Hơn nữa, phép tích phân lý tưởng (không có sai số) có thể được thực hiện theo cả đại lượng hữu hạn và vô hạn.
Lịch sử phép tính tích phân
Mặc dù khái niệm “tích phân” vẫn chưa tồn tại nhưng nguyên tắc của nó đã bắt đầu được sử dụng từ thời Hy Lạp cổ đại. Vì vậy, Archimedes đã từng tìm ra diện tích hình tròn bằng một phương pháp gần nhất có thể với phép tích phân hiện đại, đó là phương pháp vét cạn.
Nó bao gồm việc ghép một chuỗi các hình khác vào một vòng tròn đều, sau đó là xác định giới hạn diện tích của chúng. Tương tự trực tiếp với những phép tính này là việc tìm giới hạn của một tổng vô hạn bằng cách sử dụng tích phân.
Ban đầu, phương pháp này chỉ được sử dụng trong hình học, nhưng sau đó được ứng dụng trong cơ học, kinh tế, thiên văn học và các ngành khoa học khác. Và cái tên hiện đại của nó, “tích hợp”, chỉ xuất hiện vào thế kỷ 17: trong quá trình nghiên cứu của các nhà khoa học châu Âu Isaac Newton và Gottfried Wilhelm Leibniz. Tích phân bắt đầu được sử dụng trong các hệ thống tính toán vi phân và nó nhận được một định nghĩa toán học rõ ràng - “nguyên hàm của hàm số”.
Nói một cách đơn giản, tích phân trong hình học là diện tích của một hình có đường cong. Tích phân không xác định là toàn bộ diện tích và tích phân xác định là diện tích của một diện tích nhất định. Theo đó, quá trình tìm đạo hàm được gọi là đạo hàm, còn quá trình tìm nguyên hàm được gọi là tích phân.
Quy tắc tích hợp chức năng
Khi làm việc với tích phân, bạn có thể sử dụng các công thức biến đổi, miễn là chúng sử dụng hằng số C. Nó được xác định xem giá trị của tích phân tại một điểm cụ thể (được lấy tùy ý) có được biết hay không.
Vì mỗi hàm có vô số nguyên hàm nên biết giá trị của C nên bạn có thể chuyển đổi công thức tích phân theo những cách sau:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx.
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x).
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C.
Các tích phân của hàm logarit và hàm mũ cũng có thể được biến đổi:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C.
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C.
- ∫eⁿdx = eⁿ + C.
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C.
Trong lượng giác, ít nhất 15 công thức biến đổi tích phân được sử dụng, trong đó đơn giản nhất là:
- ∫sinxdx = −cosx + C.
- ∫cosxdx = sinx + C.
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
Các công thức tương tự tồn tại cho secant, cosec, arctang, v.v. Chỉ có máy tính, hay đúng hơn là một ứng dụng đặc biệt có chức năng tích hợp mới có thể tính toán chúng một cách nhanh chóng (sau khi thay thế các biến).
Để tính nhanh tích phân xác định hoặc không xác định hoặc nguyên hàm của một hàm số, hãy sử dụng máy tính của chúng tôi. Chỉ cần thay thế các giá trị số vào đó và chọn các tham số tính toán là đủ. Kết quả sẽ được hiển thị trên màn hình trong tích tắc, điều này sẽ giúp bạn không cần phải thực hiện các phép tính dài và phức tạp.