積分計算器
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在數學分析中,積分被廣泛使用 - 總和的連續模擬,適用於計算面積、體積、質量、距離和其他非恆定(可變)量。
例如,車輛的速度(在移動時可能會多次改變),或者處理器的頻率(適應正在執行的計算過程)。 不可能將這些量描述為固定值,因為它們在從最小值到最大值的範圍內不斷變化,但這可以使用積分輕鬆完成。
根據測量量是否有固定限度,區分定積分和不定積分。 第一個有,但第二個沒有。 集成的本質保持不變。
簡單來說,這是一組多項乘法及其後續求和的運算,或者是與無窮小項執行的無數次乘法的總和。 如今集成廣泛用於:
- 查找無法導出 S = a × b 或 S = π × r² 等特定公式的複雜幾何圖形的面積。
- 計算密度不均勻物體的質量。
- 確定不同速度下行駛的距離。
在數學(和其他科學)中,積分由拉長的字母 ∫ 表示,該字母源自拉丁語 S(summa)。 本質上,積分是許多相乘項的總和。 此外,對於有限量和無限量都可以進行理想積分(無誤差)。
積分的歷史
儘管“積分”這個概念當時還不存在,但其原理早在古希臘就開始被使用。 於是,阿基米德求圓面積時採用了一種盡可能接近現代積分的方法,即窮舉法。
它包括將一系列其他圖形擬合成一個規則的圓,然後確定它們的面積限制。 這些計算的直接類比是使用積分找到無限和的極限。
最初,該方法僅用於幾何學,但後來在力學、經濟學、天文學和其他科學中得到了應用。 它的現代名稱“積分”直到 17 世紀才出現:在歐洲科學家艾薩克·牛頓和戈特弗里德·威廉·萊布尼茨的研究期間。 積分開始應用於微分系統,並得到了明確的數學定義——“函數的反導數”。
簡單來說,幾何中的積分就是曲線圖形的面積。 不定積分是整個面積,定積分是給定面積內的面積。 因此,求導數的過程稱為微分,求反導數的過程稱為積分。
集成功能的規則
使用積分時,可以使用變換公式,前提是它們使用常數 C。確定特定(任意取)點處的積分值是否已知。
由於每個函數都有無數個反導數,知道C的值,可以通過以下方式變換積分公式:
- ∫Сf(x)dx = C∫f(x)dx。
- ∫f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx。
- ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫(∫g(x)dx)df(x)。
- ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C。
對數函數和指數函數的積分也可以變換:
- ∫lnxdx = xlnx − x + C。
- ∫(dx/xlnx) = ln|lnx| + C.
- ∫logₐxdx = xlogₐx − x logₐe + C = x((lnx−1)/lnb) + C。
- ∫eⁿdx = eⁿ + C。
- ∫aⁿdx = aⁿ/lna + C。
在三角學中,至少使用 15 個積分變換公式,其中最簡單的是:
- ∫sinxdx = −cosx + C。
- ∫cosxdx = sinx + C。
- ∫tgxdx = −ln|cosx| + C.
正割、餘割、反正切等也存在類似的公式。 只有計算機,或者更確切地說是具有積分功能的特殊應用程序,才能快速計算它們(在替換變量後)。
要快速計算定積分或不定積分或函數的反導數,請使用我們的計算器。 將數值代入其中並選擇計算參數就足夠了。 結果會瞬間顯示在屏幕上,讓您免去進行漫長而復雜的計算。